Hiérarchie BBGKY

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La hiérarchie BBGKY (pour les initiales de : Bogolyubov, Born, Green, Kirkwood et Yvon) est un système d'équations intégro-différentielles couplées qui apparait dans la description en mécanique statistique d'un gaz de sphères dures hors d'équilibre.

Sommaire

1 Rappels de mécanique statistique classique
2 Fonctions de distributions à k particules
3 Hiérarchie BBGKY
4 Articles connexes
5 Bilbiographie
6 Notes

[modifier] Rappels de mécanique statistique classique

Considérons comme système un gaz monoatomique constitué de N atomes identiques. En mécanique hamiltonienne, l'état de ce gaz est à chaque instant t représenté par un point A(t) dans l'espace des phases $\Gamma_N = \mathbb{R}^{6N}$ à 6N dimensions^[1]. Le point représentatif évolue au cours du temps sous l'action du flot hamiltonien, engendrant une orbite dans l'espace des phases.

En mécanique statistique, plutôt que de suivre l'évolution temporelle d'un seul système au cours du temps, on préfère introduire un ensemble de systèmes mAcroscopiquement identiques, mais pouvant avoir des mIcro-états différents. Cet ensemble est caractérisé par une densité de probabilité $f N$ définie sur l'espace des phases, telle que :

$dP_N(A,t) \ = \ f_N(A,t) \ d\Gamma_N$

représente la probabilité élémentaire de trouver le système à l'instant t dans un petit hypervolume $d Γ N$ situé autour du point A de l'espace des phases. Ce petit hypervolume d'espace des phases s'écrit explicitement en terme des coordonnées des atomes :

$d\Gamma_N \ = \ dA \ = \ \prod_{i=1}^N \ d^3 \vec{q}_i \ d^3 \vec{p}_i$

et la densité $f N$ est normalisée avec la condition des probabilités totales :

$\forall \ t \ , \quad \int_{\Gamma_N} f_N(A,t) \ d\Gamma_N \ = \ 1$

Cette densité permet de calculer des valeurs moyennes locales^[2] d'observables physiques : si g est une grandeur physique mIcroscopique, sa valeur moyenne au point $\vec{x}$ de l'espace physique réel à l'instant t se calcule par :

$G(\vec{x},t) \ = \ \langle\ g(\vec{x}) \ \rangle \ = \ \int_{\Gamma_N} g(A, \vec{x}) \ f_N(A,t) \ d\Gamma_N$

Par exemple, la densité locale moyenne de particule s'exprime à partir de la densité mIcroscopique singulière :

$\rho(\vec{x},t) \ = \ \int_{\Gamma_N} \left[ \ \sum_{i=1}^N \delta \left( \, \vec{x} \, - \, \vec{q}_i \, \right) \ \right] \ f_N(A,t) \ d\Gamma_N$

où $δ(x)$ est la distribution de Dirac.

[modifier] Fonctions de distributions à k particules

[modifier] Hiérarchie BBGKY

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bilbiographie

Carlo Cercignani ; Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms, Oxford University Press (1998), ISBN 0-19-850154-4. Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'équation de Boltzmann. Niveau plutôt second cycle universitaire.

Carlo Cercignani, Reinhard Illner & Mario Pulvirenti ; The Mathematical Theory of Dilute Gases, Series: Applied Mathematical Sciences 106, Springer-Verlag (1994), ISBN 0-387-94294-7.

[modifier] Notes

↑ 6N = (3 x 2) x N coordonnées, chaque atome ayant dans l'espace usuel à trois dimensions six coordonnées, à savoir :
- trois coordonnées de position,
- trois coordonnées de moment conjugué.
↑ Ces valeurs moyennes mAcroscopiques sont locales, car le système (ici, le gaz) n'est pas à l'équilibre thermodynamique macroscopique.