Intégrale de Gauss

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Pour tout réel strictement positif $\ \alpha$ , la fonction (paire) $\R \to \R, x \mapsto \mathrm{e}^{-\alpha x^2}$ est intégrable sur $\R$ et :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\;$ .

Cette intégrale est appelée intégrale de Gauss. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.

Sommaire

1 Intégrabilité de la fonction
2 Calcul de l'intégrale de Gauss
- 2.1 Cas particulier α = 1
  - 2.1.1 Méthode classique
- 2.2 Cas général
3 Corollaire

[modifier] Intégrabilité de la fonction

comme l'intégrande est pair, il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur $\R$ , de prouver qu'il est intégrable sur $\R^+$ . Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et négligeable à l'infini devant la fonction $\ x \mapsto x^{-2}$ , intégrable par exemple sur $\ [1,\, +\infty[\,$ .

[modifier] Calcul de l'intégrale de Gauss

[modifier] Cas particulier α = 1

[modifier] Méthode classique

La méthode classique de calcul utilise une intégrale double qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées polaires.

Soient $G = \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx$ et $H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy$ .

Compte tenu de ce que les variables x, y se séparent :

$H = \iint_{\R^+ \times \R^+} \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{e}^{-y^2}\, dx\, dy = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx\right) \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2}\, dy\right)= G^2$

On passe en coordonnées polaires en posant $\ x = r \cos\theta,\, y = r \sin\theta$ ; les variables r, θ se séparent elles aussi :

$H = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr\, d\theta = \left(\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\, dr \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}$

On en déduit :

$G^2 = \frac{\pi}{4}$ , d'où $G = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ puisque $G \geq 0$ , et enfin : $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\, dx = 2\, G = \sqrt{\pi}$ par parité.

[modifier] Cas général

En effectuant dans l'intégrale de Gauss le changement de variable défini par $x = \frac{t}{\sqrt{\alpha}}$ , on obtient :

$\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^2} dx =\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2} dt = \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$ .

[modifier] Corollaire

Le réel $\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt$ (une valeur de la fonction eulérienne Gamma) est égal à $\ \sqrt{\pi}$ .

En effet, effectuant dans l'intégrale ci-dessus le changement de variable $\ t = x^2$ , où $\ x > 0$ , on obtient :

$\ \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\, dt = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{x}\, 2\, x\, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ .

Nota : l'intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune primitive s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Ceci oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, fait appel aux intégrales de Wallis et une autre utilise une fonction définie par une intégrale.