Intégration par changement de variable
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
- Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable.
En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.
Sommaire |
[modifier] Principe
C'est la règle d'intégration qui découle de la règle de dérivation en chaîne (pour calculer des dérivées). Soit deux fonctions dérivables f,g et sachant, par la définition d'intégrale, que
alors la formule de la règle de dérivation en chaîne permet d'obtenir
[modifier] Exemple
Il est évidemment plus aisé de comprendre par l'exemple. Supposons qu'on veuille calculer
Si on pose le changement de variable u = x2 et donc du = 2xdx alors
[modifier] Théorème
Soit f une fonction numérique continue, et φ(t) une fonction de classe (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle [a, b] dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f.
Alors
Démonstration :
f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a:
D'où
[modifier] Changements de variables classiques
- Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
- Pour calculer , où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose : le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
[modifier] Voir aussi
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |