Intégration par changement de variable

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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

[modifier] Principe

C'est la règle d'intégration qui découle de la règle de dérivation en chaîne (pour calculer des dérivées). Soit deux fonctions dérivables $f, g$ et sachant, par la définition d'intégrale, que

$\int f'(x) dx = \int d[f(x)] = f(x) + C$

alors la formule de la règle de dérivation en chaîne permet d'obtenir

$\int \left( \frac{d}{d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{d}{dx} g(x) \right) dx = \int d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C$

[modifier] Exemple

Il est évidemment plus aisé de comprendre par l'exemple. Supposons qu'on veuille calculer

$\int 2x \cos(x^2) dx$

Si on pose le changement de variable $u = x 2$ et donc $d u = 2 x d x$ alors

$\int 2x \cos(x^2) dx = \int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$

[modifier] Théorème

Soit f une fonction numérique continue, et φ(t) une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle [a, b] dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f.

Alors

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt$

Démonstration :

f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction $F\circ \varphi$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a:

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

D'où

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx$

[modifier] Changements de variables classiques

Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
Pour calculer $\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\textrm{d}x}$ , où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose $u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ : le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.