Lemme de Gauss

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Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.

En mathématiques, il existe plus d'un lemme de Gauss ; tous ont été nommés en l'honneur du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss.

Sommaire

1 Théorie des polynômes
2 Théorie des nombres
- 2.1 Preuve
3 Liens externes

[modifier] Théorie des polynômes

Dans la théorie des polynômes, le lemme de Gauss relie le plus grand commun diviseur (pgcd) d'un produit de deux polynômes à coefficients entiers aux pgcd de ses facteurs. Si nous considérons R = P.Q alors, n'importe quel facteur commun des coefficients de P sera divisible par tous les coefficients de R, cela se montre par une démonstration facile. Le lemme fonctionne d'une autre manière, en limitant les facteurs communs pour R. Il fournit ce qui était nécessaire pour conclure que le phfc des coefficients de R est exactement le produit des phfc de P et Q.

Un énoncé équivalent : si le pgcd de P et Q est 1, alors il est aussi de 1 pour R.

Dans le cas d'une variable, il existe une démonstration simple de ceci. Considérons un nombre premier p, et essayons de montrer que R mod p (c.a.d. R avec les coefficients réduits au corps des résidus modulo p) n'est pas 0. En fait, le degré de R mod p est la somme de ceux de P mod p et de Q mod p, qui est plus qu'assez, parce que nous travaillons dans un corps.

Une conséquence importante est que R peut seulement se factoriser comme un produit de polynômes avec des coefficients en nombres rationnels, si cela est déjà effectué dans les polynômes entiers. On peut voir ceci en vérifiant les puissances d'un nombre premier fixé p nécessaire pour réduire les dénominateurs ; le même argument marche comme précédemment, et cette version peut aussi être appelée le lemme de Gauss. Il s'applique au théorème des racines rationnelles.

Il existe une généralisation à plusieurs variables.

[modifier] Théorie des nombres

Le lemme de Gauss dans la théorie des nombres est utilisé dans certaines démonstrations de la loi de réciprocité quadratique.

Pour n'importe quel nombre impair p, soit a un entier qui est relativement premier à p.

Considéront les entiers

$a, 2a, 3a, \dots, \frac{(p-1)}{2}a$

et leurs plus faibles résidus modulo m.

Soit n le nombre de ces résidus qui sont plus grands que p/2. Alors

$\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n$

où $\left(\frac{a}{p}\right)$ est le symbole de Legendre.

Ceci peut, par exemple, être appliqué immédiatement quand a = −1, donnant

$\frac{(p-1)}{2}$

D'un point de vue plus sophistiqué, ceci est un cas de transfert.

[modifier] Preuve

Une preuve assez simple de ce lemme peut etre déduite du principe utilisé pour la démonstration du petit théorème de Fermat. Pour cela, évaluons le produit suivant:

$Z = a \cdot 2a \cdot 3a \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 a$

modulo p de 2 manières différentes.

Premièrement, ce produit vaut:

$Z = a^{(p-1)/2} \left(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot \frac{p-1}2 \right)$

Le second calcul est plus délicat. Si x est un résidu non nul modulo p, définissions la "valeur absolue" de x comme

$|x| = \begin{cases} x & \mbox{if } 1 \leq x \leq \frac{p-1}2, \\ -x & \mbox{if } \frac{p+1}2 \leq x \leq p-1. \end{cases}$

Comme n dénombre les multiples ka se trouvant dans le second intervalle, et que pour ces multiples, −ka se trouve dans le premier intervalle, on a:

$Z = (-1)^n \left(|a| \cdot |2a| \cdot |3a| \cdot \cdots \cdots \left|\frac{p-1}2 a\right|\right).$

Maintenant, observons que les valeurs |ra| sont distinctes pour r = 1, 2, ..., (p−1)/2. En effet, si |ra| = |sa|, alors ra = ±sa, et donc r = ±s (parce que a est inversible modulo p), sonc r = s car car ils appartiennent tous 2 a l'intervalle 1 ≤ r ≤ (p−1)/2. Mais il y en a exactement (p−1)/2, donc cette séquence représente une permutation des entiers 1, 2, ..., (p−1)/2. On obtient