Lemme de Zorn
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Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :
- Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.
L'énoncé correspond au choix habituel du couple (1,3) dans la définition d'un ensemble inductif ; si on y choisit le couple (1,4) on obtient un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.
Ce « lemme » n'en est un que si l'on admet l'axiome du choix : en effet, les quatre énoncés obtenus en variant le choix de couple dans l'article ensemble inductif, sont équivalents à cet axiome. On peut donc aussi bien considérer le lemme de Zorn comme un axiome possible, et l'« axiome du choix » comme un théorème qui serait sa conséquence.
L'intérêt de ce lemme est de permettre une utilisation aisée de l'axiome du choix sans avoir à utiliser la théorie des ordinaux. Cependant, pour qui connaît cette dernière, les constructions par récurrence transfinie sont plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.
[modifier] Exemples
(en vrac et incomplet dans ce chantier)
- existence de bases d'espace vectoriel (en particulier, base de Hamel)
- existence d'ultrafiltres non principaux
- existence de la clôture algébrique d'un corps
- théorème de Hahn-Banach
- existence d'automorphismes de corps non continus de C
- existence d'idéaux maximaux (théorème de Krull)
- théorème de Tychonov (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
- théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
[modifier] Histoire
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