Méthode des indivisibles

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En géométrie, la méthode des indivisibles est une méthode de calcul d'aire et de volume inventée par Cavalieri , développée par Roberval et Torricelli , plus efficace que la méthode d'exhaustion d'Archimède mais aussi plus dangereuse à appliquer. On peut la considérer comme l'ancêtre du calcul intégral. Elle sera avantageusement remplacée par le calcul infinitésimal et intégral développé par Leibniz et Newton.

Sommaire

1 Principe de Cavalieri
2 Exemples d'utilisation
- 2.1 Calculs d'aires
  - 2.1.1 Aire du disque
  - 2.1.2 Aire de la spirale d'Archimède
- 2.2 Calculs de volumes
3 Paradoxe des indivisibles
4 Source
5 Voir aussi

[modifier] Principe de Cavalieri

Le principe est énoncé par Liu Hui au III^e siècle puis par Bonaventura Cavalieri au XVII^e siècle

Illustration du principe

Une surface est une juxtaposition de lignes parallèles. Pour Cavalieri, des lignes parallèles sont des segments de droites parallèles ou des arcs de cercles concentriques. Chaque ligne est appelée un indivisible de la surface à quarrer. Si deux surfaces sont constituées de lignes de même longueurs, elles sont égales.

Un principe analogue existe pour les volumes et établit que les volumes de deux objets sont égaux si les secteurs des sections transversales correspondantes sont, dans tous les cas, égaux. Deux sections transversales correspondent si elles sont des intersections de l'objet avec des plans équidistants d'un plan de base donné.

[modifier] Exemples d'utilisation

[modifier] Calculs d'aires

La méthode est d'un très grande efficacité pour retrouver l'aire du disque de rayon R et l'aire de la spirale d'Archimède.

[modifier] Aire du disque

Le disque est constitué de cercles concentriques dont la longueur est $2π r$ où r varie de 0 à R. Ces cercles sont les indivisibles du disque.

Un triangle de base 2πR et de hauteur R est aussi constitué de lignes de longueur 2πr où r varie de 0 à R. Ces segments sont les indivisibles du triangle.

Ces deux surfaces ont des indivisibles de même longueurs, elles ont donc même aire. L'aire du triangle est base × hauteur / 2 = 2πR × R/2 = πR².

[modifier] Aire de la spirale d'Archimède

La spirale d'Archimède est obtenue en déplaçant un point sur un segment de droite selon un mouvement uniforme tandis que la droite tourne autour d'un point selon un mouvement uniforme. Archimède démontre péniblement que l'aire de la spirale est égale au tiers de l'aire du disque qui la contient.

Cavalieri découpe la spirale en arcs de cercle qu'il redresse en segments. Le principe de construction de la spirale d'archimède permet de dire que si l'arc de cercle a pour angle au centre t (exprimé en radian) , son rayon est $R\left(1-\frac{t}{2\pi}\right)$ . La longueur de l'arc de cercle est donc $Rt\left(1-\frac{t}{2\pi}\right)$ où t est un angle variant de 0 à 2π.

Les segments redressés sont donc les indivisibles d'une parabole de base R et de hauteur πR/2. Depuis Archimède, on sait que l'aire de la parabole est égale au 2/3 du rectangle qui la contient.

La parabole et la spirale sont constituées d'indivisibles de même longueur. Leurs aires sont égales. L'aire de la spirale est donc

$\frac{2}{3}R \times \frac{\pi R}{2}= \frac{\pi R^2}{3}$

[modifier] Calculs de volumes

La méthode des indivisibles permet de déformer des sections. Si leur aire est inchangée alors le solide et le solide déformé ont même volume. Cette méthode est très efficace pour démontrer, par exemple, que le volume d'un cône est égal au tiers du volume du cylindre de même hauteur et de même base.

Dans la figure ci-dessus, chaque section est déformée en un rectangle de même aire et de largeur a. Les propriétés de proportion sur les surfaces assurent que

$\frac{S'}{S} = \frac{h^2}{H^2}$

La courbe dessinée dans le deuxième solide est donc une parabole. Le deuxième solide est un cylindre de base le triangle curviligne et de hauteur a. Depuis Galilée, on sait que l'aire de ce triangle curviligne est égale à $\frac{base \times hauteur}{3}$ . Ici l'aire du triangle curviligne est donc $\frac{H \times S/a}{3}$ . Le volume du cylindre de droite (donc du cône de gauche) est donc $\frac{H \times S}{3}$

Torricelli, reprenant des méthodes analogues, démontre que le volume du bol est égal à celui du cône. Le bol est obtenu en faisant tourner un rectangle de dimension $2R \times R$ , privé du demi-cercle de rayon R, autour de sa plus petite médiane. Le cone est obtenu en faisant tourner un triangle isocèle rectangle de côté R autour d'un côté de l'angle droit.

Torricelli démontre que les sections du bol (rose) et du cône (jaune) ont même aire à une distance h du sommet du cône.

La section du cône est un cercle de rayon h donc

S c o n e = π h 2

la section du bol est une couronne de rayons R et $\sqrt{R^2-h^2}$ donc

S b o l = π R 2 - π(R 2 - h) = π h 2

Les section ayant même aire, les solides ont même volume.

Ces méthodes où les plans de coupe sont les mêmes d'un solide à l'autre représentent la forme la moins risquée de la méthode des indivisibles. Mais elles soulèvent cependant des interrogations : Galilée trouve paradoxal que la dernière section du cône soit un point et que celle du bol soit un cercle : il lui semble que le point et le cercle ne peuvent pas avoir même dimension.

[modifier] Paradoxe des indivisibles

Cavalieri est bien conscient que sa méthode comporte des risques. En effet, selon son principe, si les indivisibles sont dans un rapport k entre deux figures, leurs aires sont aussi dans un rapport k. Or, ce principe permettrait de dire que l'aire du triangle ABC et celui du triangle ADC serait en rapport k = l/L, alors que l'on sait que ces deux aires sont égales.

Cavalieri pense que ce paradoxe provient du fait que son découpage ne suit pas les mêmes directions mais sent bien à la découverte d'autres paradoxes, que sa méthode comporte un risque. Son élève Torricelli pressent la solution en donnant une épaisseur aux indivisibles ouvrant ainsi la porte au calcul intégral : pour Torricelli, les indivisibles du triangle ABC sont plus épais que ceux du triangle ADC.