Méthodes de Runge-Kutta

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Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles portent le nom des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta.

[modifier] La méthode de Runge-Kutta classique d'ordre quatre

C'est un cas particulier d'usage très fréquent, dénoté RK4.

Considérons le problème suivant :

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

La méthode RK4 est donnée par l'équation

$y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

où

$k_1 = f \left( t_n, y_n \right)$

$k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h\over 2} k_1 \right)$

$k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h\over 2} k_2 \right)$

$k_4 = f \left( t_n + h, y_n + h k_3\right)$

L'idée est que la valeur suivante (y_n+1) est approchée par la somme de la valeur actuelle (y_n) et du produit de la taille de l'intervalle (h) par la pente estimée. La pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes :

k₁ est la pente au début de l'intervalle ;
k₂ est la pente au milieu de l'intervalle, en utilisant la pente k₁ pour calculer la valeur de y au point t_n + h/2 par le biais de la méthode d'Euler ;
k₃ est de nouveau la pente au milieu de l'intervalle, mais obtenue cette fois en utilisant la pente k₂ pour calculer y;
k₄ est la pente à la fin de l'intervalle, avec la valeur de y calculée en utilisant k₃.

Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu.

$\mbox{pente} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.$

La méthode RK4 est une méthode d'ordre 4, ce qui signifie que l'erreur commise à chaque étape est de l'ordre de h⁵, alors que l'erreur totale accumulée est de l'ordre de h⁴.

Ces formules sont aussi valables pour des fonctions à valeurs vectorielles.