Métrique riemannienne

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Les métriques riemanniennes sont les objets d'étude de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des collections différentiables de formes quadratiques définies positives :

Sur un fibré vectoriel $E\rightarrow M$ , une métrique riemannienne $g = g x$ est la donnée d'un produit scalaire $g x$ sur la fibre $E x$ qui dépende de manière lisse du point de base $x\in M$ . Plus formellement, $x\mapsto g_x$ est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel des formes bilinéaires symétriques $S^2E\rightarrow M$ . On dit que la donnée $(E, g)$ est un fibré riemannien.

Pour deux fibrés riemanniens

(E, g)

(F, g')

, un morphisme de fibrés riemanniens $f:(E,g)\rightarrow (F,g')$ est un morphisme de fibré $f:E\rightarrow F$ tel que, pour tout $x\in M$ , l'application linéaire $f_x:E_x\rightarrow F_x$ est une isométrie linéaire, id est :

$\forall v,w\in E_x, g'_x(f_x(v),f_x(w))=g_x(v,w)$

Si $M$ est une variété différentielle (de dimension n), une métrique riemannienne sur $M$ est simplement une métrique riemannienne $g$ sur le fibré tangent $TM\rightarrow M$ . La donnée $(M, g)$ est une variété riemannienne.

Etant données deux variétés riemanniennes

(M, g)

(N, g')

, une isométrie $F:(M,g)\rightarrow (N,g')$ est une application différentiable $F:M\rightarrow N$ telle que l'application tangente $dF:(TM,g)\rightarrow (TN,g')$ est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette derniere condition se reecrit :

F * g = g

[modifier] Exemples

Tout produit scalaire $< , >$ sur $R n$ induit sur tout fibré vectoriel trivial $M\times R^n\rightarrow M$ une métrique riemannienne :

g x ((x, v),(x, w)) = < x, w >

Soit $g$ une métrique riemannienne sur $E\rightarrow M$ . Pour une fonction différentiable $\psi:P\rightarrow M$ , il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière $\psi^*E\rightarrow P$ une unique métrique riemannienne $ψ * g$ telle que le morphisme naturel $\psi^*E\rightarrow E$ soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.

Si $g$ est une métrique riemannienne sur $E\rightarrow M$ , alors, par restriction, $g$ définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel $F\subset E$ .