Matrice de passage

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Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.

Sommaire

1 Définition
2 Théorème
- 2.1 Enoncé
- 2.2 Démonstration
3 Inversibilité
- 3.1 Démonstration
4 Voir aussi

[modifier] Définition

Soient $\mathbb K$ un corps, E un K-espace vectoriel.

Soient deux bases $B=(e_1 \dots e_n)$ et $B'=(e'_1 \dots e'_n)$ de E. Pour des raisons mnémotechniques on qualifie $B'$ de nouvelle base, $B$ d'ancienne base.

On définit ainsi la matrice de passage de $B$ à $B'$ , notée $P_B^{B'}$ :

$P_B^{B'} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ telle que $\forall j \in [\![1,n]\!], \quad e'_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i$

Les colonnes de cette matrice sont les matrices représentatives des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.

On peut aussi interpréter la matrice de passage comme la matrice représentative de l'application identité, de E muni de la base $B'$ dans E muni de la base $B$ . On a $P_B^{B'}=\mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E)$ où $\mathcal M_{B'B}(\mathrm{Id}_E)$ est la matrice de $Id E$ relativement à $B'$ et $B$ .

[modifier] Théorème

[modifier] Enoncé

Soit un vecteur $x \in E$ , ayant respectivement pour composantes $X=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$ et $X'=\begin{bmatrix} x'_1 \\ \vdots \\ x'_n \end{bmatrix}$ dans deux bases $B$ et $B'$ .