Nombres premiers somme de 2 carrés

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Sommaire

1 Introduction
2 Enoncé
3 Démonstration
4 Références

[modifier] Introduction

L'importance de l'énoncé suivant est simple: la démonstration du Théorème des quatre carrés de Lagrange peut être écrite par récurrence. En effet, si l'on suppose la propriété vraie jusqu'au rang n et qu'on souhaite la démontrer pour n+1, 2 cas se présentent

Soit n+1 n'est pas premier, et il s'écrit sous forme n+1=n_1 n_2, et par récurrence, on peut conclure grace à l'Identité des quatre carrés d'Euler
Soit n+1 est premier, et il est nécessaire de montrer que tout nombre premier est somme d'au plus 4 carrés.

C'est en cela que le résultat suivant est très important:

[modifier] Enoncé

Tout nombre premier congru à 1 modulo 4 est somme de 2 carrés.

On voit bien l'importance de ce résultat, car alors tout nombre premier impair est congru soit à 1 soit à 3. Dans le dernier cas, ce nombre est somme de 4 carrés.

[modifier] Démonstration

Cette démonstration est inspirée celle de Don Zagier.

Soit p premier, $p \equiv 1 [4]$ . Soit S l'ensemble défini par

$S= \{(x,y,z), x^2 + 4yz = p\} \,$

On décompose cet ensemble de la manière suivante: $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3$ , avec

$S_1 = \{(x,y,z) \in S, x < y-z\}$
$S_2 = \{(x,y,z) \in S, y-z < x < 2y\}$
$S_3 = \{(x,y,z) \in S, 2y < x\}$

Ceci est possible car $x = y - z$ implique $p = (y + z) 2$ et $x = 2 y$ implique $p = 4 y (y + z)$ , ce qui est impossible.

Soit f la fonction définie sur S de la manière suivante:

$f \begin{cases} S_1 \rightarrow S_3 & (x,y,z) \rightarrow (x+2z , z , y-x-z) \\ S_2 \rightarrow S_2 & (x,y,z) \rightarrow (2y-x , y , x-y+z) \\ S_3 \rightarrow S_1 & (x,y,z) \rightarrow (x-2y , x-y+z , y) \end{cases}$

On peut vérifier que f est bien définie et $f = f - 1$ . En particulier f est une bijection.

De plus, ff interchange $S 1$ avec $S 3$ , et tous ses points fixes sont donc dans $S 2$ . Ils vérifient: $f(x,y,z)=(x,y,z) \Leftrightarrow x=y \,$ . Comme p est premier, cela équivaut à