Notation de Dirac

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La notation de Dirac est un système de notation formelle élégante des objets mathématiques de la mécanique quantique, mettant en exergue un formalisme d'analyse linéaire sur l'espace hermitien des états quantiques, la dimension de celui-ci pouvant être finie, infinie, continue, voir même au delà...

[modifier] L'origine du formalisme

On rappelle que les solutions de l'équation de Schrödinger sont des fonctions du temps, des coordonnées spatiales, voir d'autres paramètres internes (spins, moments magnétiques ..):
$Ψ(t, x, y, z,σ...)$

solutions de l'équation de Schrödinger:
$i \hbar \partial _t \Psi(t,x,...)=-{\hbar^2\over{2m}}\Delta \Psi(t,x,..)+V(x,..)\Psi(t,x,..)$
et que les fonctions sont normalisées, de sorte que $\int \Psi^*(t,x,...)\Psi(t,x,..) dx..=1$
et que la valeur d'une grandeur physique A est obtenue par: $\int \Psi^*(t,x,...)A(x,\partial_x,...)\Psi(t,x,..) dx..= A$
La notation de Dirac s'appuie sur l'identification de l'integrale précédente avec un produit hermitien sur l'espace des fonctions à valeur complexe de carré intégrable $L 2$ :
$\int \Psi^*(t,x,...)\Psi(t,x,..) dx..=\langle \Psi, \Psi\rangle$
et par generalisation à deux fonctions $Φ(t,..)$ et $Ψ(t,..)$ : $\int \Phi^*(t,x,...)\Psi(t,x,..) dx..=\langle \Phi, \Psi\rangle$
noté en mécanique quantique: $\langle \Phi| \Psi\rangle$
On identifie donc:

la fonction $Ψ(t, x, y, z,σ...)$ avec un vecteur formel $|\Psi\rangle$ dénommé ket $Ψ$
.

la fonctionnelle duale $\int \Phi^*(t,x,...)..$ avec $\langle \Phi|$ dénommé bra $Φ$ , dual du ket $Φ$
.

D'autre part sous le formalisme de Heisenberg, les solutions ne sont plus des fonctions, mais les vecteurs d'un espace de vecteurs d'états, ce qui rend l'identification encore plus directe.

[modifier] Produit scalaire hermitien, produit tensoriel et élément de matrice d'un opérateur

D'après ce qui est écrit plus haut, le produit hermitien de $Φ$ et de $Ψ$ est $\langle \Phi|\Psi\rangle$
Le produit tensoriel du dual de $Φ$ et de $Ψ$ est $|\Psi\rangle\langle \Phi|$
Le produit tensoriel de $Φ$ et de $Ψ$ est $|\Psi\rangle| \Phi\rangle$
L'élément de matrice de l'opérateur $\bar A$ entre deux etats $Φ$ et $Ψ$ est $\langle \Phi|\bar A|\Psi\rangle$

[modifier] quelques propriétés de la notation de Dirac

la relation d'orthogonalité entre deux fonctions d'une famille de fonctions orthogonales $|\Psi_k\rangle$ se note:
$\langle \Psi_i|\Psi_j\rangle=\delta_{i,j}$
la complétude d'une base de fonctions $|\Psi_k\rangle$ se traduit par une relation, dite relation de fermeture qui se note:
$\sum_i | \Psi_i \rangle \langle \Psi_i|= 1$
opérateur identité;