Noyau (algèbre)
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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre générale, le noyau d'un homomorphisme mesure le degré auquel un homomorphisme n'est pas injectif.
Dans de nombreux cas, le noyau d'un homomorphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de définition de l'homomorphisme (plus particulièrement, l'ensemble des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée). Dans des contextes plus généraux, le noyau est à la place interprété comme une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition (plus particulièrement, la relation qui relie les éléments qui sont envoyés sur une même image par l'homomorphisme).
Dans l'une ou l'autre de ces situations, le noyau est trivial si et seulement si l'homomorphisme est injectif ; dans la première situation « trivial » signifie constitué uniquement de l'élément neutre, tandis que dans le second, cela signifie que la relation est l'égalité.
Dans cet article, nous examinons diverses définitions du noyau, utilisées pour les types importants d'homomorphismes.
[modifier] Noyau d'un homomorphisme de groupe
Le noyau d'un homomorphisme de groupe f de G vers H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre eH de H. Formellement :
- Ker f = {x dans G / f(x) = eH}.
Le noyau est un sous-groupe distingué de G.
L'un des théorèmes d'isomorphisme dit que le groupe quotient G/(Ker f) est isomorphe à l'image de f, par l'isomorphisme induit par f lui-même.
Une proposition légèrement plus générale est le théorème fondamental des homomorphismes.
L'homomorphisme de groupe f est injectif si et seulement si le noyau de f n'est constitué que de l'élément neutre de G.
[modifier] Noyau d'une application linéaire
Si f est une application linéaire d'un espace vectoriel V dans un espace vectoriel W, alors le noyau de f est défini par
- Ker f = {x dans V / f(x) = 0}.
Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace quotient V/(Ker f) est isomorphe à l'image de f; en particulier, nous avons pour les dimensions :
- dim Ker f = dim V - dim Im f.
L'application linéaire f est injective si et seulement si Ker f = {0}.
Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie et que des bases de ces espaces sont données, alors f peut être représentée par une matrice M, et le noyau peut être déterminé en résolvant le système homogène d'équations linéaires MX = 0.
Dans cette représentation, les solutions de ce système correspondent aux coordonnées des vecteurs du noyau de f ; mais aussi aux vecteurs du noyau de l'application linéaire canoniquement associée à la matrice M.
La dimension du noyau, est donnée par le nombres de colonnes de M moins le rang de M.
Résoudre des équations différentielles homogènes nous mène souvent à la détermination du noyau d'une certaine application linéaire.
Par exemple, si nous désirons déterminer les fonctions deux fois dérivables f telles que :
- xf''(x) + 3f'(x) = f(x),
nous avons à considérer le noyau de l'application linéaire φ de V dans W, où V est l'espace vectoriel de toutes les fonctions deux fois dérivables, W est l'espace vectoriel de toutes les fonctions, et pour f dans V, nous définissons φf dans W par la condition
- pour tout x, (φf)(x) = xf''(x) + 3f'(x) - f(x)
[modifier] Noyau d'un homomorphisme d'anneau
Le noyau d'un homomorphisme d'anneau f de A dans B se compose de tous les éléments x de A pour lequel f(x) = 0:
- Ker f = {x dans A / f(x) = 0}.
Un tel noyau est toujours un idéal de A. Le théorème d'isomorphisme mentionné ci-dessus pour des groupes et des espaces vectoriels reste valable dans le cas des anneaux.
