Octogone
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Un octogone est un polygone possédant huit côtés.
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[modifier] Octogone régulier
[modifier] Propriétés
Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même valeur.
- L'angle interne entre deux côtés consécutifs d'un octogone régulier vaut 3π/4, soit 135° ; la somme de tous les angles internes est égale à 6π, soit 1 080°.
- Pour un octogone régulier dont la longueur des côtés est a :
- Le rayon du cercle circonscrit à l'octogone est
.
- Le rayon du cercle inscrit à l'octogone est
.
- Le périmètre de l'octogone est égal à P = 8a.
- L'aire de l'octogone est égale à
(cot est ici la fonction cotangeante). Elle vaut également
et
.
- Le rayon du cercle circonscrit à l'octogone est
[modifier] Construction
L'octogone régulier est un polygone régulier possédant 8 côtés, soit 23 côtés. D'après le théorème de Gauss-Wantzel, il est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :
- 1 : tracer une droite.
- 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
- 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon celui-ci.
- 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
- 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre des cercles précédents.
- 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
- 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
- 8 à 10 : reporter les côtés.
- 11 à 18 : tracer l'octogone.
[modifier] Exemple d'utilisation
Dans de nombreux pays du monde, un panneau d'arrêt (STOP en Europe) est octogonal.
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