Opérateur hamiltonien

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En mécanique quantique, l'opérateur Hamiltonien est l'opérateur qui permet de décrire l'évolution d'un système quantique au cours du temps dans la représentation de Schroedinger par l'équation:

$i\hbar \frac{d \mid \psi\rangle}{d t} = H \mid \psi \rangle$

où $\mid \psi \rangle$ est la fonction d'onde du système, et $H$ l'opérateur Hamiltonien.

Dans un état stationnaire,

$\mid \psi \rangle(t) = e^{-i \frac {E t}{\hbar}} \mid \psi\rangle(0)$

Où $E$ est l'énergie de l'état stationnaire. On voit aisément qu'un état stationnaire est un vecteur propre de l'opérateur Hamiltonien, avec l'énergie comme valeur propre. Le Hamiltonien étant un opérateur hermitique, les énergies obtenues sont réelles.

Dans la représentation de Heisenberg, les états sont indépendants du temps, et les opérateurs sont dépendants du temps. L'opérateur Hamiltonien intervient alors dans d'équation d'évolution des opérateurs:

$i \hbar \frac{dA}{dt} = i\hbar \frac{\partial A}{\partial t} +[A,H]$

où $\partial/\partial t$ désigne une dérivation par rapport à une dépendance explicite par rapport au temps et $[A, H] = A H - H A$ est le commutateur des opérateurs $A$ et $H$ .

On passe de la représentation de Schroedinger à la représentation de Heisenberg au moyen de l'opérateur d'évolution.

Dans le cas non-relativiste, l'opérateur Hamiltonien peut etre obtenue à partir du Hamiltonien de la mecanique classique par le principe de correspondance.

Si $H (p, q)$ est le Hamiltonien classique, le Hamiltonien quantique est obtenu en substituant aux variables classiques $p$ (impulsion) et $q$ (coordonnées) les opérateurs $\hat{p}$ et $\hat{q}$ . Il est parfois nécessaire de symétriser le Hamiltonien ainsi obtenu pour s'assurer de l'Hermiticité du Hamiltonien. En effet, le principe de correspondance permet toujours d'obtenir le Hamiltonien classique à partir du Hamiltonien quantique en remplacant les opérateurs par des nombres, mais plusieurs opérateurs quantiques, ne différant que par l'ordre des opérateurs (qui ne commutent pas) peuvent conduire à la meme variable quantique.

[modifier] Notes et références

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
A. Messiah Mécanique Quantique (Dunod)
Lev Landau, Evguéni Lifchitz, Physique théorique, t. 3 : Mécanique quantique, Éditions MIR, Moscou, [détail des éditions]

J. L. Basdevant Cours de Mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)

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