Quantile

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Les quantiles sont des points essentiels pris à des intervalles réguliers verticaux d'une fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire. Diviser des données ordonnées en q sous-jeux de données de dimension essentiellement égale est la motivation des q-quantiles ; les quantiles sont les valeurs de données marquant les limites entre deux sous-jeux consécutifs.

Certains quantiles ont des noms spéciaux :

Les 100-quantiles sont appelés centiles ou percentiles selon un anglicisme fréquent.
Les 10-quantiles sont appelés déciles.
Les 5-quantiles sont appelés quintiles.
Les 4-quantiles sont appelés quartiles.

Certains programmes informatiques définissent le quantile minimum et le quantile maximum par respectivement le quantile d'ordre 0 et le quantile d'ordre 100; Toutefois, une telle terminologie va au-delà des définitions traditionnelles de la statistique. Pour une population infinie, le p-ième q-quantile est la valeur des données où la fonction de distribution cumulative vaut p/q. Pour un nombre fini N de tirages, il faut calculer Np/q--si ce n'est pas un entier, alors il faut arrondir à l'entier supérieur pour obtenir une valeur approchée (en supposant que les tirages sont ordonnés par valeur croissante); si c'est un entier alors n'importe quelle valeur depuis la valeur de ce tirage jusqu'à la valeur du prochain tirage peut être choisie pour le quantile, et conventionnellement (mais c'est tout-à-fait arbitraire) on prend la moyenne de ces deux valeurs.

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More formally: the pth q-quantile of the distribution of a random variable X can be defined as the value(s) x such that:

$P(X\leq x)\geq \frac{p}{q} \ \mathrm{and} \ P(X\geq x)\geq \frac{q-p}{q}.$

If instead of taking p and q as integers, the p-quantile is based on a real number p with 0<p<1 then this becomes: the p-quantile of the distribution of a random variable X can be defined as the value(s) x such that:

$P(X\leq x)\geq p \ \mathrm{and} \ P(X\geq x)\geq 1-p.$

Standardized test results are commonly misinterpreted as a student scoring "in the 80th percentile", for example, as if the 80th percentile is an interval to score "in", which it is not; one can score "at" some percentile or between two percentiles, but not "in" some percentile.

If a distribution is symmetrical, then the median is the mean, but this is not generally the case.

Quantiles are useful measures because they are less susceptible to long tailed distributions and outliers. For instance, with a random variable that has an exponential distribution, any particular sample of this random variable will have roughly a 63% chance of being less than the mean. This is because the exponential distribution has a long tail for positive values, but is zero for negative numbers.

Empirically, if the data you are analyzing are not actually distributed according to your assumed distribution, or if you have other potential sources for outliers that are far removed from the mean, then quantiles may be more useful descriptive statistics than means and other moment related statistics.

Closely related is the subject of robust regression in which the sum of the absolute value of the observed errors is used in place of the squared error. The connection is that the mean is the single estimate of a distribution that minimizes expected squared error while the median minimizes expected absolute error. Robust regression shares the ability to be relatively insensitive to large deviations in outlying observations.

The quantiles of a random variable are generally preserved under increasing transformations, in the sense that for example if m is the median of a random variable X then 2^m is the median of 2^X, unless an arbitrary choice has been made from a range of values to specify a particular quantile. Quantiles can also be used in cases where only ordinal data is available.

[modifier] Calcul des quantiles

Il existe différentes méthodes pour estimating les quantiles:

Let N be the number of non-missing values of the sample population, and let $x_1,x_2,\ldots,x_N$ represent the ordered values of the sample population such that $x 1$ is the smallest value, etc. For the kth q-quantile, let $p = k / q$ .

Empirical distribution function: $\begin{cases}x_j, & g=0\\ x_{j+1}, & g>0\end{cases}$

$j$ is the integer part of $N\cdot p$ and $g$ is the fractional part

Empirical distribution function with averaging: $\begin{cases}\frac{1}{2}(x_j+x_{j+1}), & g=0\\ x_{j+1}, & g>0\end{cases}$

$j$ is the integer part of $N\cdot p$ and $g$ is the fractional part

Weighted average: $x_{j+1}+g\cdot(x_{j+2}-x_{j+1})$

$j$ is the integer part of $(N-1)\cdot p$ and $g$ is the fractional part. This method is used for example in the PERCENTILE function of Microsoft Excel.