Racine de nombre complexe

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On définit comme racine carrée d'un complexe $z \in \mathbb{C}$ tout nombre $Z \in \mathbb{C}$ tel que :

$Z^2 = z~$

[modifier] Racines carrées d'un nombre complexe

Cette notion n'est à surtout pas confondre avec la racine carrée dans $\mathbb{R}_{+}$ qui est unique. Pour cela on déconseille la forme $\sqrt{a + bi}$ (car il n'y a pas, à priori, de relation d'ordre pour les nombres complexes).

On définit donc comme racine carrée d'un complexe $z \in \mathbb{C}$ tout nombre $Z \in \mathbb{C}$ tel que :

Z 2 = z .

[modifier] Racines $n$ -ième d'un complexe

La notion de racine $n$ -ième est définie de manière analogue. On définit comme racine $n$ -ième d'un complexe $z \in \mathbb{C}$ tout nombre $Z \in \mathbb{C}$ tel que:

$Z^n = z ~$

On notera que puisque la notion de puissance est multiplicative, il est souvent plus pratique d'utiliser la forme exponentielle des complexes lors des calculs.

[modifier] Méthode de calcul de racines carrées d'un nombre complexe

Soit $\ z^2 = Z$ avec $\ z=x+iy$ (z est la racine carré de Z), on pose alors le système suivant:

$\begin{cases}z^2=Z\\|z|^2=|Z|\end{cases}$ Sig: $\begin{cases}(x+iy)^2=a+ib\\(x^2+y^2)=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$ Sig: $\begin{cases}x^2-y^2+i2xy=a+ib\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$

Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient :

$\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$

Il est dès lors très simple d'en déduire $\ x^2$ en ajoutant la première et la troisième équation (et en ayant le signe de $\ xy$ avec $\ b$ ) puis d'en déduire les valeurs de $\ x$ ainsi que $\ y$ .

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Voici une formule pour le calcul de la racine carrée d'un nombre complexe:

Si d > 0:

$\sqrt{c+di}=\pm(\sqrt{\frac{c+\sqrt{c^2+d^2}}{2}}+\sqrt{\frac{c-\sqrt{c^2+d^2}}{2}})$

Si d < 0:

$\sqrt{c+di}=\pm(\sqrt{\frac{c+\sqrt{c^2+d^2}}{2}}-\sqrt{\frac{c-\sqrt{c^2+d^2}}{2}})$

Pour calculer plus facilement on peut remplacer $\sqrt{\frac{c-\sqrt{c^2+d^2}}{2}}$ (qui est toujours une racine carrée négative) par $i\sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}$