Racine n-ième

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En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b, tel que $b^n=a\,$ . Lorsque terme fait référence à la racine n_ième d'un nombre réel a, il est supposé que l'on parle de la racine n-ième principale du nombre, qui est notée $\sqrt[n]{a}\,$ avec le symbole radical ( $\sqrt{\,\,}$ ). La racine n-ième principale d'un nombre réel a est l'unique nombre réel b, c'est à dire une racine n-ième de a et est du même signe que a. Note : si n est pair, les nombres négatifs n'auront pas de racine n-ième principale.

Voir l’article racine carrée.

pour le cas où n = 2.

Sommaire

1 Opérations fondamentales
2 Travailler avec les expressions irréductibles
3 Séries infinies
4 Trouver toutes les racines
- 4.1 Nombres réels positifs
5 Résoudre les polynômes
6 Voir aussi

[modifier] Opérations fondamentales

Les opérations avec les radicaux sont données par les formules suivantes :

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0$

$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$

où a et b sont positifs.

Pour chaque nombre complexe différent de zéro a, il existe n nombres complexes différents b tels que $b^n = a\,$ , donc le symbole $\sqrt[n]{a}\,$ ne peut pas être utilisé clairement. Les n-ièmes racines de l'unité sont d'une importance particulière.

Une fois qu'un nombre a été changé d'une forme par radicaux en une forme exponentielle, les règles s'appliquent encore (même pour les exposants fractionnaires), concrêtement

$a^m a^n = a^{m+n} \,$

$({\frac{a}{b}})^m = \frac{a^m}{b^m}\,$

$(a^m)^n = a^{mn} \,$

Par exemple :

$\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{5/3} a^{4/5} = a^{5/3 + 4/5} = a^{37/15}\,$

Si vous allez faire une addition ou une soustraction, alors vous devriez noter que le concept suivant est important.

$\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}\,$

Si vous comprenez comment simplifier une expression sous forme de radicaux, alors l'addition et la soustraction est simplement une question de groupement de "termes ressemblants".

Par exemple,

$\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}\,$

$=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}\,$

$=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}\,$

$=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}\,$

[modifier] Travailler avec les expressions irréductibles

Souvent, il est plus facile de laisser les racines n-ièmes non réduites (avec les radicaux visibles). Ces expressions irréductibles, appelées surds (en anglais), peuvent alors être manipulées en formes plus simples ou arrangées pour qu'elles se divisent entres elles. Avec cette notation, le symbole radical ( $\sqrt{\,\,}$ ) dépeint les expressions irréductibles avec la ligne supérieure appelée le vinculum, au-dessus de l'expression. Une racine cubique prend la forme :

$\sqrt[3]{a}\,$ , ce qui correspond à $a^{\frac{1}{3}}\,$ en l'exprimant sous forme fractionnaire.

Toutes les racines peuvent rester sous forme irréductible.

Les techniques de base pour travailler avec les expressions irréductibles proviennent des identités. Voici des exemples de base:

$\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}\,$

$\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}\,$

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\,$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}\,$

La dernière de ces identités peut servir à rationnaliser le dénominateur d'une expression, déplaçant l'expression irréductible du dénominateur vers le numérateur. Il suit, à partir de l'identité

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) = a - b\,$ ,

qui exemplifie un cas de différence de deux carrés. Des variantes pour le cube et autres racines existent, comme font des formules plus générales basées sur les séries géométriques finies.

[modifier] Séries infinies

Le radical ou racine peut être représenté par la série infinie :

$(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n$

avec $\ |x|<1$ .

[modifier] Trouver toutes les racines

Toutes les racines de n'importe quel nombre, réel ou complexe, peuvent être trouvées avec un simple algorithme. Le nombre doit d'abord être écrit sous la forme $ae^{i\varphi}\,$ (voir la formule d'Euler). Alors, toutes les racines n-ièmes sont données par :

$e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}\,$

pour $k=0,1,2,\ldots,n-1\,$ , où $\sqrt[n]{a}\,$ représente la racine n-ième principale de a.

[modifier] Nombres réels positifs

Toutes les solutions complexes de $x^n = a\,$ , autrement dit les racines n-ièmes de a, où a est un nombre réel positif, sont données par l'équation simplifiée :

$e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}\,$

pour $k=0,1,2,\ldots,n-1\,$ , où $\sqrt[n]{a}\,$ représente la racine n-ième principale de a.

[modifier] Résoudre les polynômes

Il a été une fois conjecturé que toutes les racines de polynômes pouvaient être exprimées en termes de radicaux et d'opérations élémentaires. Ceci n'est pas vrai en général comme l'énonce le théorème d'Abel-Ruffini. Par exemple, les solutions de l'équation

$\ x^5=x+1\,$