Rayon de Larmor

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le rayon de Larmor est un concept physique permettant de décrire le mouvement d'un électron soumis à un champ magnétique constant. En effet, cet électron acquiert un mouvement circulaire caractérisé par son rayon.
L'expression de ce rayon dépend de la charge de l'électron $e$ , de sa masse au repos $m 0$ , de son énergie cinétique $T$ , et de la valeur $B$ du champ magnétique.

[modifier] En mécanique classique

Le rayon de Larmor en mécanique classique s'écrit :

$R=\frac{\sqrt{2m_0T}}{eB}$ .

Démonstration :

Pour étudier le rayon de Larmor, nous nous placons dans un repère d'axes $\vec{u_x}$ , $\vec{u_y}$ et $\vec{u_z}$ . Pour simplifier, supposons que le champ magnétique soit orienté selon l'axe $\vec{u_z}$ , et que la vitesse initiale soit $\vec{v_0}=v_0\vec{u_x}$ .
La force de Lorentz appliquée à l'électron, d'expression $\vec F = q \vec v \wedge \vec B$ , est alors contenue dans le plan $\vec{u_x},\vec{u_y}$ . Ainsi le mouvement sera restreint à ce plan. Nous utiliserons donc uniquement les coordonnées $x$ et $y$ de l'électron.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on en déduit que ces coordonnées vérifient les équations :

	$m_0\ddot x+eB\dot y=0$
et	$m_0\ddot y-eB\dot x=0$ .

En posant $X = x + i y$ et $Y = x - i y$ et $ω 0 = e B / m 0$ , on obtient :

	$\ddot X-i\omega_0\dot X=0$
et	$\ddot Y+i\omega_0\dot Y=0$

Ces équations différentielles ont pour solution :

	$\dot x=v_0 cos(\omega_0t)$
et	$\dot y=v_0 sin(\omega_0t)$

Et en intégrant encore une fois :

	$x=\frac{v_0}{\omega_0} sin(\omega_0t)$
et	$y=-\frac{v_0}{\omega_0} cos(\omega_0t)$

Cela correspond à un mouvement circulaire de rayon $\frac{v_0}{\omega_0}=\frac{\sqrt{2m_0T}}{eB}$

[modifier] En mécanique relativiste

Le passage en mécanique relativiste fait intervenir la grandeur $\gamma=\left( 1-\frac{v^2}{c^2} \right)^{-\frac{1}{2}}$ (le facteur de Lorentz). En effet, il faut remplacer, dans l'expression du principe fondamental de la dynamique, la masse au repos $m 0$ par la masse effective $m = γ m 0$ . En reprenant la démonstration dans le cas classique, il faut préciser que la vitesse (ou bien $\dot X \dot Y$ ) est constante au cours du mouvement. Ainsi, $γ$ est aussi constant, et on peut reprendre le résultat $R=\frac{v_0}{\omega}=\frac{\gamma m_0 v_0}{eB}$ . Finalement, comme la mécanique relativiste nous apprend que $T = (γ - 1) m 0 c 2$ , on obtient la formule :