Repère projectif

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant la géométrie, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Un espace projectif de dimension $n$ se repère par $n + 2$ points.

(Pour les définitions, voir Géométrie projective).

Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension $n + 1$ associé. On veut donc choisir une base $(e 1,..., e n + 1)$ de cet espace, et considérer les points $(p 1,..., p n + 1) = (π(e 1),...,π(e n + 1))$ comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées $(x 1,..., x n + 1)$ dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur $x = x_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \cdot e_{n+1}$ qui définit un unique point $π(x)$ dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif $(p 1,..., p n + 1)$ , on ne peut pas retrouver les vecteurs $(e 1,..., e n)$ qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme $\tilde e_1 = \lambda_1 \cdot e_1, ..., \tilde e_{n+1} = \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}$ . Si l'on considère le nouveau vecteur $\tilde x = x_1 \cdot \tilde e_1 + ... + x_{n+1} \cdot \tilde e_{n+1} = x_1 \lambda_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}$ , celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à $x$ , et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les $λ i$ sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points $(p 1,..., p n + 1)$ une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs $\tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1}$ comme ci-dessus à vérifier $λ 1 = ... = λ n + 1$ . Pour cela, on impose une contrainte sur la somme $\tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1}$ qui doit être colinéaire à la somme $e 1 + ... + e n + 1$ choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux $p i$ le point $p n + 2 = π(e 1 + ... + e n + 1)$ , et alors tout choix de $\tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1}$ vérifiant $\pi(\tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1}) = p_{n+2}$ permet de retrouver le point de l'espace projectif correpondant aux coordonnées $(x 1,..., x n + 1)$ comme indiqué ci-dessus.