Série divergente

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n'est pas convergente. L'exemple le plus simple de série divergente est la série harmonique :

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots \ = \ \sum_{n=1}^\infty \ \frac{1}{n}$

dont la divergence a été démontrée au Moyen-Age par le mathématicien Nicole Oresme.

Dans certains cas, il est malgré tout possible d'attribuer une valeur finie à la série en usant d'une procédure dite de « sommation », ou de « sommabilité », dont il existe plusieurs variantes. Cette possibilité est fondamentale pour la physique théorique, où de nombreuses théories^[1] ne sont calculables qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent ... divergentes.

[modifier] Articles liés

[modifier] Bibliographie

[modifier] Vulgarisation

Jean-Pierre Ramis ; Les séries divergentes, Pour La Science 350 (Décembre 2006), 132-139.

[modifier] Bibliothèque virtuelle

Journées X-UPS ; Séries divergentes et procédés de resommation, (1991). pdf. Contient les quatre contributions suivantes :
- Jean-Pierre Ramis ; Séries divergentes et théories asymptotiques ;
- Michèle Loday-Richaud ; Séries formelles provenant de systèmes différentiels linéaires méromorphes ;
- Jean Thomann ; Procédés formels et numériques de sommation de séries solutions d'équations différentielles ;
- Alain Chenciner ; Séries divergentes de la mécanique céleste (problèmes planétaires).

[modifier] Ouvrages de référence

Émile Borel ; Leçons sur les séries divergentes, Gauthier-Villars, Paris (Deuxième édition - 1928).
Godfrey H Hardy ; Divergent Series, Oxford University Press (1949). Réédition : American Mathematical Society (1992), ISBN 0821826492.
Jean-Pierre Ramis ; Séries divergentes et théories asymptotiques, Panoramas et Synthèses 0 (1994), ISBN 2-85629-024-8.
Bernard Malgrange ; Sommation des séries divergentes, Expositiones Mathematicae 13 (1995), 163-222.