Série zeta rationnelle

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En mathématiques, une série zeta rationnelle est la représentation d'un nombre réel arbitraire en termes d'une série constituée de nombres rationnels et de la fonction zeta de Riemann ou de la fonction zeta d'Hurwitz. Plus précisément, pour un nombre réel donné x, la série zeta ratonelle pour x est donnée par

$x=\sum_{n=2}^\infty q_n \zeta (n,m)$

où $q_n\,$ est un nombre rationnel, la valeur m reste fixée et $\zeta(s,m)\,$ est la fonction zeta d'Hurwitz. Il n'est pas difficile de montrer que tout nombre réel x peut être développé de cette manière. Pour m entier, on a

$x=\sum_{n=2}^\infty q_n \left[\zeta(n)- \sum_{k=1}^{m-1} k^{-n}\right]$

Pour m=2, beaucoup de nombres intéressants ont une expression simple sous forme de série zeta rationnelle :

$1=\sum_{n=2}^\infty \left[\zeta(n)-1\right]$

$1-\gamma=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}\left[\zeta(n)-1\right]$

où $\gamma\,$ est la constante d'Euler-Mascheroni. Il existe aussi une série pour $\pi\,$ :

$\log \pi =\sum_{n=2}^\infty \frac{2(3/2)^n-3}{n}\left[\zeta(n)-1\right]$

$\frac{13}{30} - \frac{\pi}{8} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^{2n}}\left[\zeta(2n)-1\right]$

devient notable à cause de sa convergence rapide. Cette dernière série se déduit de l'identité générale

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] = \frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1}$

qui peut être transformée à partir de la fonction génératrice des nombres de Bernoulli

$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{t^n}{n!}$

Adamchik et Srivastava donnent une série similaire

$\sum_{n=1}^\infty \frac{t^{2n}}{n^2} \zeta(2n) = \log \left(\frac{\pi t} {\sin (\pi t)}\right)$

[modifier] Séries reliées à la fonction polygamma

Un nombre de relations supplémentaires peuvent être déduites à partir des séries de Taylor pour la fonction polygamma au point z=1, qui est

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}$ .

Ceci converge pour |z|<1. Un cas particulier est

$\sum_{n=2}^\infty t^n \left[\zeta(n)-1\right] = -t\left[\gamma +\psi(1-t) -\frac{t}{1-t}\right]$

qui reste valide pour $| t | < 2$ . Ici, $\psi\,$ est la fonction digamma et $\psi^{(m)}\,$ est la fonction polygamma. Beaucoup de séries impliquant les coefficient binomiaux peuvent être dérivés :

$\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \zeta(\nu+2)$

où $\nu\,$ est un nombre complexe. Ceci est issu du développement en série de la fonction zeta d'Hurwitz

$\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x)$

pris à $y = - 1$ . Des séries similaires peuvent être obtenues simplement en algèbre :

$\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = 1$

$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = 2^{-(\nu+1)}$

$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \nu \left[\zeta(\nu+1)-1\right] - 2^{-\nu}$

$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] = \zeta(\nu+2)-1 - 2^{-(\nu+2)}$

Pour $n\geq 0\,$ entier, la série

$S_n = \sum_{k=0}^\infty {k+n \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]$

peut être écrite comme une série finie

$S_n=(-1)^n\left[1+\sum_{k=1}^n \zeta(k+1) \right]$

Ceci se déduit d'une simple relation récursive $S_n+S_{n+1} = \zeta(n+2)\,$ . Ensuite, la série

$T_n = \sum_{k=0}^\infty {k+n-1 \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]$

peut être écrite sous la forme

$T_n=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta(2)+\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k (n-k) \zeta(k+1) \right]$

pour $n\geq 1$ entier. Ceci se déduit à partir de l'identité $T_n+T_{n+1} = S_n\,$ . Ce processus peut être appliqué récursivement pour obtenir des séries finies pour les expressions générales de la forme

$\sum_{k=0}^\infty {k+n-m \choose k} \left[\zeta(k+n+2)-1\right]$

pour les nombres entiers positifs m.

[modifier] Séries de puissances demi-entières

Des séries similaires peuvent êtres obtenues en explorant la fonction zeta d'Hurwitz pour les valeurs demi-entières. Ainsi, par exemple, on a

$\sum_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} {{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1$

[modifier] Expressions sous la forme de séries p

Adamchik et Srivastava donnent

$\sum_{n=2}^\infty n^m \left[\zeta(n)-1\right] = 1\, + \sum_{k=1}^m k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)$

$\sum_{n=2}^\infty (-1)^n n^m \left[\zeta(n)-1\right] = -1\, +\, \frac {1-2^{m+1}}{m+1} B_{m+1} \,- \sum_{k=1}^m (-1)^k k!\; S(m+1,k+1) \zeta(k+1)$

où $B_k\,$ sont les nombres de Bernoulli et $S(m,k)\,$ sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

[modifier] Autres séries

D'autres constantes ont des séries zeta rationnelles remarquables :

[modifier] Références

Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall, sur Computational Strategies for the Riemann Zeta Function

Victor S. Adamchik and H. M. Srivastava, Some series of the zeta and related functions

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Catégorie : Fonction zeta

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Sommaire

[modifier] Séries reliées à la fonction polygamma

[modifier] Séries de puissances demi-entières

[modifier] Expressions sous la forme de séries p

[modifier] Autres séries

[modifier] Références

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