Utilisateur:Salle/Trigo
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'Cette page est une page de brouillon de Salle, elle peut comporter des erreurs, qui n'ont pas à être considérées comme des erreurs de l'espace encyclopédique de Wikipedia. J'y conserve deux démonstration élaborées dans la perspective d'une simplification d'une preuve pour l'article Groupe abélien de type fini. Des modifications sont possibles, toutefois, je souhaiterais garder la main sur l'esprit des preuves.
[modifier] Lemmes
Soit G un groupe abélien fini, et a un élément de G tel que son ordre soit égal à l'exposant e de G. Alors, tout élément du groupe quotient G/<a> se relève dans G en un élément de même ordre.
Si H est un sous-groupe de G, et x un élément de G/H qui se relève dans G en un élément, toujours noté x, de même ordre, alors, le sous-groupe de G engendré par H et x, est produit direct de H par le sous-groupe engendré par x.
[modifier] Théorème
On en déduit le théorème : si G est un groupe abélien de type fini, alors il s'écrit comme produit direct de sous-groupe cycliques, le nombre de sous-groupes intervenant dans cette description étant égal au nombre minimal de générateurs de G.
, pour tout i. On montre même qu'il y a divisibilité. En effet, supposons que p est un nombre premier tel que la plus grande puissance pl divisant a=o(x) est strictement plus grand que la plus grande puissance pm divisant l'un des b=o(y), pour y l'un des yi ; notons a'=a/pn, et b'=b/pm. On peut alors vérifier qu'en remplaçant x par x'=xpnyb' et y'=xa'ypm, on obtient encore une famille génératrice de G, avec o(x')<o(x), ce qui est une contradiction.
