Modèle:Sin/Documentation

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Cette page est la documentation du modèle {{Sin}} (de ses sous-modèles {{Sin/1}}, {{Sin/2}}, {{Sin/Table}}, {{Sin/Mod}}) et des variantes : {{Sin°}}, {{Cos°}} et {{Tan°}}. L'existence de ces modèles n'est dûe qu'au fait que Wikipédia n'intègre pas les MathStatFunctions. Avec cette extension, la fonction sinus serait {{#sin: <angle en radian>}}.

Utilisation: Le modèle {{Sin}} retourne une valeur approchée du sinus d'un angle.

Syntaxe

{{Sin/Documentation|1|2}}

1 : l'angle (obligatoire). Un nombre quelconque.
2 : l'unité de l'angle (facultatif, en radian par défaut). Les valeurs possibles sont "r" (radians), "d" (degrés), "g" (grades).

Variantes: Les modèles {{Sin°}}, {{Cos°}} retournent respectivement les sinus et cosinus d'angles donnés en degrés entre -180 et 180.; Le modèle {{Tan°}} retourne la tangente d'un angle donnés en degrés entre -90 et 90.

Exemples

Code wiki	Rendu
`{{Sin}}`	0
`{{Sin°\|0.5}}`^[1]	0.0174524
`{{Sin\|5\|d}}`^[2]	0.087155364768392
`{{Sin°\|5}}`	0.0871557
`{{Sin\|15\|d}}`^[3]	0.25881825846129
`{{Sin\|30\|d}}`	0.5
`{{Sin\|40\|d}}`	0.64278760968654
`{{Sin\|45\|d}}`	0.70710495765113
`{{Sin\|85\|d}}`	0.99619228225267
`{{Sin\|90\|d}}`	1
`{{Sin\|135\|d}}`	0.70710495765113
`{{Sin\|180\|d}}`	-0
`{{Sin\|270\|d}}`	-1
`{{Sin\|355\|d}}`	-0.087155364768399
`{{Sin\|-180\|d}}`	0
`{{Sin\|-3690\|d}}`	-1
`{{Sin\|50\|g}}`	0.70710495765113
`{{Sin\|-3.14}}`	0.0031853017931523
`{{Sin/1\|2}}`^[4]	0.34202014332567
`{{Sin/1\|12}}`^[4]	0.86602540378444
`{{Sin/1\|-3}}`^[4]	-0.5
`{{Sin/1\|-14.5}}`^[4]	-0.57357491578173
`{{Sin/1\|5.5}}`^[4]	0.81914997319468
`{{Sin/2\|2\|-0.0001}}`^[4]	0.34192617235365
`{{Sin/Table\|3}}`	0.5
`{{Sin\|5\|xxx}}`^[5]	Erreur de paramétrage de {{Sin}} : le paramètre `2` est une unité d'angle invalide.
`{{Sin\|xxx}}`^[5]	Expression error: Unrecognised word "expression"

Détails du procédé de calcul approché: Le calcul approché est basé sur le développement limité

$\sin(x+h) = \sin(x)\left(1-{h^2 \over 2}\right) + \cos(x) h \left(1- {h^2 \over 6}\right) + h^3 \epsilon(h)$

avec $\lim_{h\to 0} \epsilon(h) = 0\,\!$ .

L'angle $\theta\,\!$ donné en radians doit donc être décomposé en $x+h\,\!$ :

Le découpage s'effectue en décadegrés ; c.-à-d. que pour un angle $\theta\,\!$ donné en radians, l'angle en décadegrés sera $\textstyle\frac{18}\pi\theta$ ^[6]. Cet angle est arrondi :

$X=\operatorname{round}\left({18\over\pi}\theta\right)\,\$ et $\ x={\pi\over 18} X\,\!$ ^[7], $\ h=\theta-x\,\!$ .

En réalité, le modèle {{Sin}} commence par ramener l'angle en décadegrés à une valeur comprise entre 0 et 9.

Imbrication des modèles: le modèle {{Sin}} utilise des sous-modèles : {{Sin|<angle>|<unité>}} utilise {{Sin/1|<angle en décadegrés entre -18 et 18>}} qui utilise {{Sin/2|<angle arrondi : 0, .. ,9>|<valeur de $h$ >}} qui emploie enfin le modèle {{Sin/Table|<angle en décadegrés>}}.

L'algorithme en détails

en partant d'un angle $\theta\,\!$ donné en radians, on commence par diviser par 2π
{{Sin/Mod}} permet de se ramener à un intervalle -0.5,..,0.5 qui correspond à l'intervalle -π,..,π.
convertion en décadegrés l'interval devient -18,..,18.
{{Sin/1}} décompose en 4 quartans en se ramène à un interval 0,..,9
{{Sin/1}} emploie {{Sin/2}} avec, en paramètre, l'angle arrondi, et la valeur $h$
{{Sin/2}} utilise {{Sin/Table}} pour récupérer les sinus et cosinus de l'angle arrondi
{{Sin/2}} retourne le sinus approché grâce à la formule ci-dessus

↑ correspond à l'erreur maximale : valeur exacte=0.0087265354983739349648882139735844 ; (valeur exacte - valeur rétournée)/valeur exacte = -0.9999231
↑ correspond à l'erreur maximale : valeur exacte=0.087155742747658173558064270837474 ; (valeur exacte - valeur rétournée)/valeur exacte = 4.3E-06
↑ valeur exacte=0.25881904510252076234889883762405 ; (valeur exacte - valeur rétournée)/valeur exacte = 3E-06
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 usage interne
↑ ^5,0 ^5,1 usage erroné
↑ 18/π=5.7295779513082320876798154814105
↑ π/18=0.17453292519943295769236907684886

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