Somme (arithmétique)

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La somme S de deux nombres A et B est le résultat de l'addition de ces deux nombres. On note : « S = A + B ».

Exemple : 5 = 3 + 2

Sommaire

1 Somme des n premiers entiers
- 1.1 Démonstration
2 Somme des n premiers carrés parfaits
- 2.1 Démonstration
3 Somme des n premiers entiers à la puissance 3
4 Somme des n premiers entiers à la puissance 4
5 Voir aussi

[modifier] Somme des n premiers entiers

Cette propriété fut découverte par Carl Friedrich Gauss à l'âge de 9 ans.

Soit $S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n \Leftrightarrow S = \sum_{i=1}^n i$

Alors $S = \frac{n(n+1)}{2}$

[modifier] Démonstration

$\begin{array}{r*{10}{c}} S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n\\ \mbox{ou encore } S &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\ \mbox{En sommant : } S+S &=& n+1 &+& n+1 &+& \cdots &+& n+1 &+& n+1\\ \end{array}$

On a ainsi : $\displaystyle 2S = n(n+1)$ , d'où on tire : $S = \frac{n(n+1)}{2}$

[modifier] Somme des n premiers carrés parfaits

Soit $S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + (n - 1)^2 + n^2 \Leftrightarrow S = \sum_{i=1}^n i^2$

Alors $S = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1)$

[modifier] Démonstration

La démonstration se fait par récurrence :

   Initialisation à n=0
  or  d'où l'hypothèse est vérifiée au rang n=0
    Conclusion de Récurrence 
 
    Démonstration 
On sait que :  pour n = 0
Or :  
D'où : 
<==> 
<==> 
<==> 
<==>  CQFD