Structure affine

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Sommaire

1 Définitions d'un espace affine
2 Voir aussi

[modifier] Définitions d'un espace affine

Il existe de nombreuses manières de définir un espace affine. Dans tous les cas, nous supposerons donnés au moins :

un corps ( $\mathbb K \,$ , + , x ) , noté « $\mathbb K \,$ » en abrégé , d'éléments neutre « 0 » pour la loi additive et « 1 » pour la loi multiplicative;

les éléments du corps seront appelés « scalaires » et notés par des lettres grecques minuscules : λ , μ ,...

un ensemble $E \,$ non vide, socle du futur espace affine;

ses éléments seront appelés « points » et notés par des lettres latines majuscules : A , B ,...

[modifier] Définition « générale »

Un espace affine sur un corps commutatif se définit alors comme un paragroupe muni d’une loi de composition externe sur ce corps commutatif.

La loi interne du paragroupe est souvent appelée loi milieu, car dans un espace affine euclidien, cette loi n’est autre que celle qui associe à deux points leur milieu géométrique. En symétrisant cette loi, on aboutit à un espace vectoriel, celui associé à l' espace affine.

La loi externe de l'espace affine vérifie d'ailleurs des propriétés analogues à celles de la loi externe d’un espace vectoriel.

D'où l'idée de « construire » la structure affine à partir de celle d'espace vectoriel, ce qui permet de ramener la théorie des espaces affines au moins en partie à celle des espaces vectoriels, plus simple.

Pour obtenir ce résultat, on peut « transférer » la structure d'un $\mathbb K \,$ -espace vectoriel $V \,$ à l'ensemble $E \,$ grâce à une application entre $V \,$ et $E \,$ possédant les propriétés adéquates. Il existe plusieurs solutions, qui donnent naissances à autant de définitions équivalentes des espaces affines.

Dans la suite, l' espace vectoriel ( $V \,$ , $\ ^{\dot +}$ , · ), noté « $V \,$ » en abrégé , a pour élément neutre « » ; ses éléments sont appelés « vecteurs » et notés par des lettres latines minuscules surmontées d'une flèche : $\vec u$ , $\vec v$ ,...

[modifier] Définition « naturelle »

Cette définition fait appel au carré cartésien de $E \,$ , dont les éléments sont appelés traditionnellement bipoints.

Un espace affine est ainsi un ensemble $E \,$ muni d'une relation scalaire φ de $E \times E \,$ dans $V \,$ vérifiant les propriétés suivantes :

C1 : φ est une application ; cette propriété se décompose en deux parties :

C1a : φ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 , \forall\ ( \vec u , \vec v ) \in V^2 ,\ [ \ ( P , Q ) \varphi \vec u \wedge ( P , Q ) \varphi \vec v \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

Nous utiliserons donc à partir d'ici une variante de la notation fonctionnelle pour φ :

$\ [ \ ( P , Q ) \varphi \vec u \ ] \Leftrightarrow [ \ \vec u = \varphi ( P , Q ) \ ] \Leftrightarrow [ \ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \ ] \,$

C1b : φ est applicative :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 , \exists\ \vec u \in V \,/\ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \,$

C2 : la RTID de φ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q , R ) \in E^3 ,\ [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \overrightarrow {P R\ } \ ] \Rightarrow [ \ Q = R \ ] \,$

C3 : la RTID de φ est applicative :

$\forall\ P \in E , \forall\ \vec u \in V , \exists\ Q \in E \,/\ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \,$

Attention à ne pas confondre les propriétés C3 et C1b !

La propriété C3 implique que φ est surjective.

C4 : φ vérifie la relation de Chasles :

$\forall\ ( P , Q , R ) \in E^3 ,\ \overrightarrow {P Q\ } \dot + \ \overrightarrow {Q R\ } = \overrightarrow {P R\ } \,$

La propriété C4 a pour conséquence :

$\forall\ P \in E ,\ \overrightarrow {P P\ } = \vec 0 \,$

qui peut aussi se formuler :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 ,\ [ \ P = Q \ ] \Rightarrow [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \vec 0 \ ] \,$

En résumé, φ est une sorte de « morphisme » entre E ² et V :

- c'est une application;

- sa RTID (sa « réciproque ») est aussi une application;

- elle vérifie une sorte de « linéarité » : la relation de Chasles

Il existe une variante équivalente de cette définition où la propriété C2 est remplacée par :

C5 : tout bipoint dont l'image par φ est le vecteur nul est de la forme ( P , P ) :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 ,\ [ \ \overrightarrow {P Q\ } = \vec 0 \ ] \Rightarrow [ \ P = Q \ ] \,$

Cette propriété est l'implication réciproque de la conséquence de C4 ci-dessus.

[modifier] Définition « algébrique »

Un espace affine est aussi un ensemble E muni d'une relation ternaire externe dans E à opérateurs à droite dans V ( c'est-à-dire d'une correspondance de E×V dans E ), que nous noterons « $\ ^{\ddot +} \,$ » , et qui vérifie les propriétés suivantes :

L1 : $\ ^{\ddot +} \,$ est une application, donc une loi externe; cette propriété peut se scinder en deux parties :

L1a : $\ ^{\ddot +} \,$ est fonctionnelle :

$\forall\ ( P , Q , R ) \in E^3 , \forall\ \vec u \in V ,\ [ \ ( P , \vec u ) \ddot + Q \wedge ( P , \vec u ) \ddot + R \ ] \Rightarrow [ Q = R \ ] \,$

Nous pouvons donc utiliser à partir d'ici une notation fonctionnelle infixée pour $\ ^{\ddot +} \,$ ( notation de Grasmann ) :

$\ [ \ ( P , \vec u ) \ddot + Q \ ] \Leftrightarrow [ \ Q = P \ \ddot + \ \vec u \ ] \,$

L1b : $\ ^{\ddot +} \,$ est applicative :

$\forall\ P \in E , \forall\ \vec u \in V , \exists\ Q \in E \,/\ Q = P \ \ddot + \ \vec u \,$

L2 : $\ ^{\ddot +} \,$ est régulière à gauche (ou sa RTID est fonctionnelle) :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in V^2 , \forall\ P \in E , [ \ P \ \ddot + \ \vec u = P \ \ddot + \ \vec v \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

L3 : la RTID de $\ ^{\ddot +} \,$ est applicative :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 , \exists\ \vec u \in V \,/\ P \ \ddot + \ \vec u = Q \,$

L4 : $\ ^{\ddot +} \,$ est exo-associative par rapport à l'addition dans V , $\ ^{\dot +} \,$ :

$\forall\ P \in E , \forall\ ( \vec u , \vec v ) \in V , ( P \ \ddot + \ \vec u ) \ \ddot + \ \vec v = P \ \ddot + \ ( \vec u \dot + \vec v ) \,$

En résumé, $\ ^{\ddot +} \,$ est une sorte de « morphisme » entre E × V et E :

- c'est une application;

- sa RTID (sa « réciproque ») est aussi une application;

- elle vérifie une sorte de « linéarité » : l'exo-associativité

Il existe une variante équivalente de cette définition où la propriété L2 est remplacée par :

L5 : $\ ^{\ddot +} \,$ est exo-unifère :

$\forall\ \vec u \in V , \forall\ P \in E ,\ [ \ P \ \ddot + \ \vec u = P \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec 0 \ ] \,$

[modifier] Définition « géométrique »

Dans ce qui suit, E ^E désigne l'ensemble des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E dans E.

Un espace affine est alors un ensemble E muni d'une correspondance de V dans E ^E , que nous noterons « T » , et qui vérifie les propriétés suivantes :

T1 : T est une action, c'est-à-dire une application de V dans E; cette propriété peut se scinder en deux parties :

T1a : T est fonctionnelle :

$\forall\ \vec u \in V , \forall\ ( t_1 , t_2 ) \in (E^E)^2 ,\ [ \ \vec u \ \top\ t_1 \wedge \vec u \ \top\ t_2 \ ] \Rightarrow [ \ t_1 = t_2 \ ] \,$

Nous pouvons donc utiliser à partir d'ici une notation fonctionnelle pour T :

$\ [ \ \vec u \ \top\ t \ ] \Leftrightarrow [ \ t = \top ( \vec u ) \ ] \,$

T1b : T est applicative :

$\forall\ \vec u \in V , \exists\ t \in E^E ,\ t = \top ( \vec u ) \,$

T2 : T est opérative; là encore, cette propriété se scinde en deux parties :

T2a :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in V^2 ,\ [ \ T ( \vec u \dot + \vec v ) = T ( \vec u ) \circ T ( \vec v ) \ ] \,$

T2b :

$\ T ( \vec 0 ) = Id_A \,$

T3 : T est fidèle (ou injective) :

$\forall\ ( \vec u , \vec v ) \in V^2 ,\ [ \ T ( \vec u ) = T ( \vec v ) \ ] \Rightarrow [ \ \vec u = \vec v \ ] \,$

T4 : T est transitive (ou les images de T sont surjectives) :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 , \exists\ \vec u \in V /\ T ( \vec u ) ( P ) = Q \,$

L'image par T d'un vecteur $\vec u$ est appelée translation dans E de vecteur $\vec u$ , et notée habituellement « $t_{\vec u} \,$ ». C'est une bijection de E dans E.

En résumé, T permet aux vecteurs de V d'« agir » sur les points de E sous forme de translations. Ainsi, V définit sur E par l'intermédiaire de T une géométrie ... affine.

On montre aisément que les trois définitions précédentes sont équivalentes entre elles. En fait, dès que l'on a muni un ensemble de l'une des trois applications précédentes (avec les propriétés indiquées), on y dispose des deux autres, et on a :

$\forall\ ( P , Q ) \in E^2 , \forall\ \vec u \in V ,\ [ Q = t_{\vec u} ( P ) ] \Leftrightarrow [ \ Q = P \ \ddot + \ \vec u \ ] \Leftrightarrow [ \ \vec u = \overrightarrow {P Q\ } \ ] \,$