Discuter:Théorème isopérimétrique

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il me semblerait préférable de mettre le contenu de cet article dans "inégalité isopérimétrique" pour la raison suivante ce résultat fait partie d'une foule de résultats sur la même thématique (triangles, polygones, inégalités dans les espaces à courbure constante, inégalités faisant intervenir d'autres invariants géométriques etc...) ci dessous quelques exemples élémentaires

[modifier] point de départ : les rectangles

l'identité $(a + b) 2 - 4 a b = (a - b) 2$ permet de voir que si A est l'aire, P le périmètre d'un rectangle de côtés a et b, on a $P^2\ge 16 A$ , l'égalité n'étant réalisée que pour les carrés. Autrement dit, parmi tous les rectangle de même aire, c'est le carré qui a le plus petit périmétre, et à l'inverse parmi tous les rectangles de même périmètre, c'est le carré qui a la plus grande aire.

[modifier] Triangle

le "meilleur" triangle est équilatéral (géométrie élémentaire : on peut diminuer le périmètre en gardant l'aire dès que deux cotés sont pas de même longueur + une petite subtilité, on utilise le fait que le minimum doit être réalisé) L'inégalité explicite,un peu plus sophistiquée, est $P^2\ge 12\sqrt 3 A$

Jaclaf 6 janvier 2007 à 23:02 (CET)

[modifier] quadrilatères

à aire donnée c'est bien sûr le carré qui réalise le minimum du périmètre. marche à peu près à l'aide de méthodes de symétrisation.

[modifier] nombre quelconque de côtés

je sais que ça se fait mais pas de solution dans les doigts en ce moment ; une jolie question intermédiaire, sachant que pour $n\ge 4$ un n-gone n'est pas déterminé par les longueurs des côtés, porte sur les n-gones articulés. Ceux d'aire maximum sont inscriptibles, autrement dit les sommets sont sur un même cercle.