Discuter:Théorie axiomatique des ensembles
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[modifier] Discussion générale
À propos de Les axiomes de choix et de regularité sont actuellement toujours contreversés par une minorité de mathématiciens; il y a des raisons à cela, j'essaierai de me renseigner. -- Looxix 14 oct 2003 à 01:41 (CEST)
Merci pour avoir terminer l'article : la traduction. Tu m'as enlevé une épine du pied. JM
- J'ai reformulé la phrase au sujet de la controverse avec l'hiérarchie de Cantor pour la rendre moins ambigüe. Il reste en core un certain nombre de petites choses à finir. -- Looxix
Il me semble qu'il serait bien de distinguer mieux les différentes versions de la théorie. En effet, une fois introduit le schéma d'axiomes de remplacement, d'autres deviennent inutiles, l'axiome de la paire, par exemple. D'autre part, plusieurs axiomes sont facultatifs (on peut remplacer l'axiome de l'infini par sa négation et conserver une théorie consistante, par exemple). Par ailleurs, certains passages sont particulièrement obscurs (je ne suis moi-même pas sûr du sens).
Je veux bien bosser à tout ça mais j'hésite un peu sur le niveau de détail à adopter... jd 10 jun 2004 à 12:48 (CEST)
[modifier] logique brésilienne
Quand j'ai lu le début de cet article (qui me semble très bien), ayant besoin de savoir si quand on est en théorie des ensembles dans wikipedia on suppose ou on ne suppose pas vérifié l'axiome du choix, je suis tombé sur une phrase vantant la non contradiction de la logique brésilienne. Au départ, j'ai cru à un canular. Puis j'ai vu que si cela en est un, il est déjà dans la version anglaise qui a servi de base. J'ai envoyé "brazilian logic mortensen" dans scholar.google.com (j'ai dû ajouter Mortensen, trouvé dans la version anglaise de "logique brésilienne" pour éviter tous les congrès brésiliens de logique), j'ai obtenu une trentaine de réponses sur le sujet mais je n'ai pas essayé de lire un article ; ensuite, j'ai envoyé "brazilian logic" dans la base Mathscinet (la grande base de données bibliographique de l'AMS=american_mathematical_society ; il faut être abonné pour y accéder), et j'ai eu 0 résultats. J'en conclus que la logique brésilienne n'est pas un canular, que cela n'est guère des mathématiques mais peut-être de la logique aux confins de l'IA ; que le sujet était pour le moment anecdotique (surtout avec un article vide logique brésilienne depuis belle lurette) et j'ai donc supprimé. CD 20 jan 2005 à 03:32 (CET)
Serait-il possible qu'en fait de logique brésilienne il s'agisse de logique paraconsistente, effectivement étudiée notamment au Brésil ? DelTree 3 février 2006
[modifier] axiome de séparation et axiome de remplacement
Question : pourquoi l'axiome de séparation n'apparait pas dans la liste des neuf axiomes de la théorie ZFC, alors qu'il est mentionné deux lignes au-dessus de cette même liste ? 194.214.213.67 24 mar 2005 à 18:00 (CET)
- C'est aussi ce qui m'a frappé à la lecture de cet article et il semblerait que l'axiome de remplacement de Fraenkel soit un renforcement de l'axiome de séparation de la théorie Zermelo. Aussi l'axiome de séparation peut s'énoncé comme ceci : Soit A un ensemble, et P une fonction définie sur les éléments de A et qui vaut vrai ou faux. Alors il existe un ensemble constitué par les éléments x de A pour lesquels P(x) vaut vrai.
- J'avoue ne pas avoir les connaissances nécessaires pour faire les modifications adéquats dans l'article mais si quelqu'un pouvait se pencher dessus (au moins préciser que l'axiome de remplacement dans ZF modifie uniquement celui de séparation dans Z si cela est exact).
- Viens alors la question de l'axiome de fondation. Viens t'il avec celui du choix pour former ZFC ou est-il déjà dans ZF ?
- BenduKiwi [ | φ] 29 décembre 2005 à 03:37 (CET) - 29 décembre 2005 à 03:37 (CET)
Je confirme que l'axiome de séparation devrait être mentionné, ainsi que ses liens avec l'axiome de remplacement.DelTree 3 février 2006
C'est fait, sous le nom schéma d'axiomes de compréhension. Proz 14 août 2006 à 02:56 (CEST)
[modifier] Redondance
Les axiomes de l'ensemble vide et de la paire sont conséquences des autres. Mû 14 juin 2006
- ensemble vide : c'est fait sous forme de commentaire, lors de la mention de cet axiome.
- paire : à faire effectivement. Le mentionner sur cette page, et le démontrer dans l'article axiome de la paire ? [Fait]
Proz 14 août 2006 à 03:02 (CEST)
[modifier] axiome de l'infini et théorie naïve ?
Réponse à la question "pourquoi supprimer l'axiome de l'infini ?" dans la boite de résumé : je crois que Cantor n'avait pas du tout cherché à axiomatiser la th. des ensembles, donc ce qui est appellée "théorie naïve" dans l'article est une fiction historico-pédagogique, pas de l'histoire (que je ne connais pas ou mal). Je répond sur un plan de "logique interne". Pour l'axiome de l'infini : je ne vois pas pourquoi il serait nécessaire. On construit facilement une infinité d'ensembles distincts par compréhension. Si on a l'axiome de compréhension généralisé, l'ensemble de tous les ensembles est infini. Bien-sûr, comme il s'agit d'une théorie contradictoire, tout cela n'a pas grand sens (tout est démontrable). Mais je ne vois pas nécessité de mentionner un axiome de l'infini. Ceci dit ça ne me gêne pas plus que ça : puisqu'il y a question posée je répond. Proz 14 août 2006 à 02:52 (CEST)
- Oui il est très peu probable que Cantor ait voulu axiomatiser la th. des ensembles vu la manière dont il s'y est pris. Tes arguments sont justes, il faudra sans doute revoir quelques passages mais pour l'heure l'axiome de l'infini est effectivement non nécessaire. Merci d'avoir éclairé ma lanterne. BenduKiwi [ | φ] - 14 août 2006 à 03:08 (CEST)
[modifier] Discussion de l'axiome du choix
Je n'aime pas cette discussion qui implique implicitement que tous les mathématiciens sont plantoniciens et partagent la même intuition. Assez curieusement les mathématiciens qui rejettent le plus l'axiome du choix sont les intuitionnistes. Cette discussion est d'autant plus étrange que le paragraphe suivant justifie le côté contre-intuitif de l'axiome du choix. On s'y perd.
Je pense que ce paragraphe doit être amélioré ou supprimé. J'y ai fait quelques corrections de pure forme, mais pas plus. Pierre de Lyon 17 décembre 2006 à 15:06 (CET)
- Je suis d'accord pour supprimer dans l'état... Ca ne me semble pas correspondre à la réalité (en dehors de certaines applications comme celles du choix dépendant). Par ailleurs il me semble que les intuitionnistes (depuis Brouwer je dirais) rejettent en général la théorie des ensembles elle-même, l'infini achevé, et l'extensionnalité, encore plus que l'axiome du choix, qui est assez "innocent" dans leurs théories. En tout cas le paragraphe à ce sujet est également très contestable (confusion avec les objections des pré-intuitionnistes comme Borel ?). Proz 17 décembre 2006 à 16:51 (CET)
[modifier] Problème d'homonymie
Je copie une discussion ayant lieu ici, car elle est p.e. mal placée ;-). --Epsilon0 4 avril 2007 à 20:45 (CEST)
On a dans l'article : Théorie axiomatique des ensembles :
"Après coup, nous pouvons dire que Cantor utilisait tacitement l'axiome d'extensionnalité, et une forme très générale du schéma d'axiomes de compréhension. Cependant, ce dernier axiome conduit directement au paradoxe de Russell, quand on essaie de construire l'ensemble S = {A | A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. "
Cette phrase est gênante car laisse à penser que l'actuel schéma d'axiomes de compréhension mène au paradoxe de Russell, ce qui est bien sûr faux.
Nous sommes là face a un problème de terminologie que j'ai mentionné aussi sur la page de discussion de Axiome de séparation : quel nom est donné historiquement (et devons nous sur wikipédia donner) pour désigner l'axiome (naïf?, formel? j'avoue ne pas savoir) qui menait au paradoxe de Russell et qui a été ultérieurement réformé sous les 2 noms d'"axiome (ou shéma d'axiomes, là n'est pas la question) de séparation" et de "schéma d'axiomes de compréhension" ? A ma connaissance on l'appelle "axiome de compréhension" , ce qui bien sûr prête à confusion.
Connaissez-vous d'autres nom?
Je suggèrerais d'appeler :
1. "axiome de compréhension", par défaut d'autre nom connu pour le désigner, l'axiome contradictoire initial i.e. l'extention d'un prédicat (propriété, disait-on avant?) est un ensemble. On pourrait aussi lui consacrer un article (de type historique) servant aussi pour le lecteur perdu à ne pas le confondre avec les autres axiomes.
2. "axiome de séparation" la reformulation non contradictoire de l'ax précédent le restreignant à un ens, i.e. Si A est un ens et P un prédicat (disons unaire) la classe des x appartenant à A tq Px est un ensemble.
3. "shéma d'axiomes de séparation" ce qui est ici (et dans bcp de manuels ... mais qui n'abordent pas forcément l'aspect historique) appelé "schéma d'axiomes de compréhension" (mais on pourrait en dire un mot dans l'article après renommage). pi de toute façon on se fout un peu de ce shéma car il découle de celui de remplacement et a un intérêt plus didactique/historique (justement!) que théorique :-)
Cette solution a le désavantage de heurter l'usage, mais à ma connaissance personne en entendant le mot "séparation" (qui évoque, par son nom, l'intersection d'une classe avec un ensemble) ne va le confondre avec l'axiome initial contradictoire. Le français me semble avoir contrairement à l'anglais ces 2 mots "séparation" et "compréhension", on peut en tirer bénéfice (mais ça peut poser pb car l'essentiel des articles de logique sont en anglais).
Maintenant je ne sais pas trop, y a t-il dans l'usage du terme "axiome de séparation" une nuance de type axiome naïf ou axiome du 2ème ordre qui sert justement à le distinguer d'un "shéma" axiomatique d'axiomes du premier ordre, ce qui rendrait le choix que je propose peu judicieux?
Donc : - Connaissez vous un nom non-ambigu pour désigner cet axiome contradictoire (et où quand comment il a été formulé?), et par défaut
- (mais seulement par défaut) que pensez vous de ma suggession? Maintenant quelque soit le choix fait il faudra harmoniser cette décision dans tous les articles, le but étant bien sûr que le lecteur de bonne volonté ait les moyens de , euh, ... comprendre ce qui lui est dit sans schizophrénie (séparation). Ok je sorts -->
p.s : je viens de créer l'article Axiome d'anti-fondation assez rapidement (yaveh pas) et de manière entièrement informel, si vous pouvez relire (tout amender, virer mes POV etc ...[bref tout casser :-)] et surtout donner les bonnes définitions amenant à l'énoncé exact), bah se serait bien (en l'état c'est un brouillon qui n'a comme légitimité que de boucher un trou). --Epsilon0 30 mars 2007 à 21:53 (CEST)
Dans son ouvrage "Axiomatic set theory", P.SUPPES utilise la dénomination "abstraction axiom" pour l'axiome de compréhension sans restriction menant au paradoxe de Russell. CBerlioz 2 avril 2007 à 22:40 (CEST)
- Je ne connais a pas grand chose en théorie axiomatique des ensembles, mais ma référence est le livre de Jean-Lous Krivine. Quelle est sa position sur cette terminologie? Il me paraitrait hasardeux de créer pour Wikipédia notre propre terminologie. Question: Cantor avait-il une notion d'axiomes? Pierre de Lyon 3 avril 2007 à 02:00 (CEST)
- Tout à fait d'accord pour ne pas créer une terminologie, je laisse donc la question en suspend le temps que quelqu'un puisse corroborer l'usage non ambigu que j'utilise (sans lui en connaître une source fiable), ou l'infirmer (!).
- Il est à noter que trouver des sources est difficile car peu d'ouvrages (surtout en français) parlent (en lui donnant un nom; ce peut être "notez que telle formule ... contrad, ce qui historiquement ...") à la fois de cet axiome contradictoire et des axiomes contemporains, ce qui leur permettent d'utiliser le mot "compréhension" en des sens différents (selon les ouvrages) sans risque d'homonymie (au sein du même ouvrage); ... mais c'est pas le cas sur wikipédia, d'où le pb.
- Sur les interventions :
- "axiome d'abstraction", pourquoi pas, mais c'est la première fois que j'entend cette expression (on est vraiment dans un grand flou terminologique) et le risque de confusion avec le symbole d'abstraction, lambda, du lambda calcul me semble à éviter (certaines théories mèlent lambda calcul et ZF, par ex "Map Theory"). Mais si c'est le terme usuel TB.
- A mon souvenir l'ouvrage de Krivine (enfin il en a consacré 2 à +- 35 ans d'intervalle) ne s'interresse pas du tout au passé de la discipline et vole vers les thms de cohérences relatives / AC et HC; donc pas de pb d'homonymie.
- Sur l'origine de l'usage contemporain du mot "axiome", je ne sais pas trop : au pif je dirais que Hilbert est p.e. (après Cantor?) le 1er. Et pour les axiomes de la théorie des ensembles, me semble que les premières formulations sont de Russell et Whitehead dans les principia mathematica. Donc pour répondre à la question, je ne crois pas que Cantor ait utilisé le mot "axiome" au sens contemporain du terme; mais je peux me tromper.
- Bref
- Je vais tenter de reformuler la phrase ambigüe de Théorie axiomatique des ensembles.pour ne pas laisser qqch de faux/ambigu, en croisant les doigts pour que le pb ne se repose plus.
- Sans doute un jour un bon en théorie des ensembles (+histoire), je ne suis pas non plus expert, saura trouver la terminologie qui va bien dans les cas où il pourrait y avoir pb.
- Et je copie cette page de discussion sur l'article sus-cité où il a p.e. plus de chance de trouver résolution.
--Epsilon0 4 avril 2007 à 20:36 (CEST)
1. Cantor n'a pas cherché à axiomatiser la théorie des ensembles. Au moins à partir de la fin des années 90 (97 d'après sa correspondance), il distinguait parmi les classes les ensembles des classes propres (avec une autre terminologie et des définitions imprécises, que seul lui était capable de manier avec justesse, en caricaturant un peu). Donc la soi disante théorie de Cantor fondée sur la compréhension générale et l'extensionnalité est une astuce pédagogique utile mais est doublement fausse historiquement : la théorie de Cantor n'est pas formelle, en particulier le langage n'est pas défini formellement, meme si Cantor ne pense pas que toute propriété définisse une classe, et il ne pense pas que toute propriété définisse un ensemble. Je propose le faire disparaître de l'article en tant que fait historique.
3. Le livre de Krivine dit bien "compréhension" (le livre de 199* est à peu près la réédition de celui de 196* complété par une deuxième partie sur le forcing). C'est un terme aujourd'hui bien plus utilisé en français que séparation, à ma connaissance, les deux doivent apparaître de toute façon. Je suis pour que le nom par défaut reste "schéma d'axiomes de compréhension".
4. Il s'agit de schémas d'axiomes et non d'axiomes, au premier ordre dans le cadre logique usuel pour formaliser la théorie des ensembles (une seule sorte d'objet, les classes sont des façons de parler des prédicats). Il me parait donc exclu de nommer les articles "axiome de ...". Il me semble qu'"axiome de séparation" est inutile est devrait rediriger vers "schéma d'axiomes de compréhension". Par ailleurs je ne pense pas que "l'on se foute de ce schéma" qui suffit largement (vis à vis du remplacement) pour les mathématiques en dehors de la théorie des ensembles. Enfin il est assez inutile de chercher un nom non ambigu pour le schéma d'axiome de compréhension non restreint, qui est contradictoire. Je ne trouvais pas la formulation précédente de cet article ambiguë. L'actuelle me va aussi en dehors du fait que c'est faux historiquement (mais ça l'était déjà), et que ça va un peu trop dans le détail.
5. la première formulation axiomatique de la théorie des ensembles c'est Zermelo 1908 (l'axiomatique de Zermelo), l'axiome du choix vient avant (1904ou5). Les principia datent de 1910, mais il y a un article de Russell de 1908 également qui jette les grandes lignes. Mais la théorie des types formalise aussi la logique, ce n'est pas que de la théorie des ensembles.
Je modifie en ce sens. Ce sera encore un brouillon.
Je propose également, en attendant mieux, d'effacer le dernier paragraphe sur l'indépendance qui est franchement obscur, et pas très cohérent. Proz 5 avril 2007 à 01:11 (CEST)
- Les modifications faites me semblent satisfaisantes :
1. Je n'étais pas au fait de l'aspect historique (qu'à dit Cantor et que lui attribue t-on?)
2. Sur le pb d'homonymie que je soulevais, je trouve que l'utilisation des termes "resteint" et "non-restreint/fort/large", dans les cas, rares, où il y a lieu de faire la distinction résout le pb. Donc inutile, comme je le suggérais, d'utiliser le mot "séparation" pour la distinction; même si le mot peut être mentionné. --Epsilon0 6 avril 2007 à 21:55 (CEST)
"Non restreint" semble effectivement plus clair : j'ai corrigé dans l'article schéma d'axiomes de compréhension. Proz 6 avril 2007 à 23:09 (CEST)
