Théorème d'Ascoli
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
En analyse fonctionnelle, le théorème d'Ascoli est un puissant résultat caractérisant les parties relativement compactes de l'espace des fonctions continues définies sur un espace métrique compact à valeurs dans un espace métrique complet (espace vectoriel normé complet). Il se généralise sans difficulté aux espaces topologiques localement compacts, localement séparables, et dénombrables à l'infini.
Ce théorème est connu pour son nombre considérable d'applications (complétude de certains espaces fonctionnels, compacité de certains opérateurs, ...).
Sommaire |
[modifier] Énoncé et démonstration
Soient 
un espace métrique compact et 
un espace métrique complet. L'espace 
des fonctions continues de K dans F est un espace métrique complet.
Une partie A de est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées :
- A est équicontinue, i.e pour tout
, on a
- Pour tout , l'ensemble
est relativement compact.
compact alors 
aussi.
{
} 
tel que 
.
. En effet, si 
alors 
précompact et donc relativement compact dans 
est continue sur 
compact donc uniformément continue i.e. 
tel que 
, on ait : 
.
avec 
. Si 
: 
tel que 
donc 
.
et ceci 
d'où l'équicontinuité de 
suite de 
est un espace métrique compact, il est donc séparable. Soit 
{
}, ensemble dénombrable 
compact et inclus dans 
.
produit dénombrable d'espaces métriques compacts est un espace métrique compact.
, on fait correspondre l'élément 
de 
.
compact, on peut extraire une sous-suite convergente 
qui converge vers 
sont continues d'où : 
. Autrement dit, la sous-suite 
est simplement convergeante en tout point de 
.
donc est équicontinue par le premier point.[modifier] Contexte historique
[modifier] Application
[modifier] Opérateurs à noyau
- Article détaillé : opérateur à noyau.
[modifier] Complétude des espaces fonctionnels
 |
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
