Théorème d'Egoroff

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Le théorème d'Egoroff, nommé ainsi en hommage à Dimitri Egoroff, un phycisien et géomètre russe, établit une condition de convergence uniforme dans certains espaces mesurables. Ce théorème peut servir en particulier à montrer le théorème de Lusin pour les fonctions intégrables.

[modifier] Enoncé

Soit $E$ un espace mesuré muni de sa tribu $Ω$ et de sa mesure $μ$ que l'on suppose finie (i.e. telle que $\scriptstyle\mu(E)<+\infty$ ). Soit $(f n)$ une suite de fonctions mesurables de $E$ à valeurs réelles convergeant $μ$ p.p. vers une fonction $f$ mesurable sur $E$ .

ALors, pour tout $ε > 0$ , il existe $\scriptstyle A \in \Omega$ tel que $μ(A) < ε$ et tel que $f n$ converge uniformément vers $f$ sur $E - A$ .

[modifier] Pourquoi supposer la mesure finie?

Considérons la suite de fonctions $(f n)$ suivante définie sur l'ensemble des réels munie de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue ( $χ$ désigne la fonction indicatrice d'un ensemble) :

$f_n(x)=\chi_{[n,n+1]} \quad \forall x \in \R$ .

Alors, $(f n)$ converge simplement sur l'ensemble des réels mais il n'existe aucun sous ensemble de la forme $\scriptstyle \R-B$ avec $B$ de mesure finie où la convergence est uniforme.

[modifier] Démonstration

On considère pour $\scriptstyle n,k\ge 1$ les ensembles :

$E_{k,n}=\bigcap_{j\ge n}\left\{x \in E : |f_i(x)-f(x)\le \frac{1}{k}\right\}$ .

Pour tout $\scriptstyle k \ge 1$ , la suite $\scriptstyle (E_{k,n})$ est croissante (pour l'inclusion), donc :

$\mu (\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n})=lim_{n \to \infty}\mu(E_{k,n})$ .

De plus, comme la suite de fonctions $(f n)$ converge simplement $μ$ p.p. vers $f$ , on a, pour tout $\scriptstyle k \ge 1$ :

$\mu (\bigcup_{n \ge 1}E_{k,n})=\mu(E)$ .

On fixe alors $ε > 0$ . Grâce à la condition $\scriptstyle\mu(E)<+\infty$ , on peut trouver pour chaque $\scriptstyle k \ge 1$ un entier $n k$ positif tel que

$\mu(E_{k,n_k}\ge \mu(E)-2^k\epsilon$ .

Alors, l'ensemble

$A=\bigcup_{k \ge 1}(E-E_{k,n_k})$

convient.

[modifier] Autre formulation du théorème

Soit $E$ un espace métrique, séparable et localement compact, sur lequel on a une mesure $μ$ $σ$ -finie. Soit $f n$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $\mathbb R$ convergeant $μ$ p.p. vers une fonction $f$ mesurable.

Alors, pour tout $ε > 0$ et pour tout compact $K$ de $E$ , il existe un compact $K'$ inclus dans $K$ tel que $μ(K - K') < ε$ et tel que $f n$ converge uniformément vers $f$ sur $K'$ .