Théorème d'Hurwitz

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Le Théorème d'Hurwitz est en théorie des nombres un résultat très important. Il est notamment très utile en approximation diophantienne.

[modifier] Enoncé

Soit $ε$ un nombre irrationnel, et c un nombre réel positif tel que $c \leq \sqrt{5}$ .

Alors, il existe une infinité de nombres rationnels de la forme $\frac{a}{b}$ avec a et b des nombres entiers premiers entre eux tels que:

$\left| \epsilon - \frac{a}{b} \right| \leq \frac{1}{c b^2} \,$

De plus, si $c > \sqrt{5}$ , il existe des irrationnels $ε$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est vérifiée que pour un nombre fini de nombres rationnels.

[modifier] Démonstration

Commençons par le deuxième point. Prenons $c = \frac{\sqrt{5}}{\alpha}$ avec $0 < α < 1$ , et $\epsilon = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Si $\theta = \sqrt{5} b^2 \left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} - \frac{a}{b} \right)$ , alors, on souhaite avoir $| θ | < α$ . En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve

$a^2 - ab - b^2 = \theta + \frac{\theta^2}{5k^2} \,$ . Si on considère $P (a) = a 2 - a b - b 2$ comme un polynôme en a, on a $P(a)=0 \Leftrightarrow a = \frac{(1 \pm \sqrt{5})b}{2}$ , mais, comme a et b sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour P(b). Donc $|a^2 - ab - b^2 | \geq 1 \,$

$1 \leq \left| \theta + \frac{\theta^2}{5b^2} \right| \leq |\theta| + \frac{| \theta | ^2}{5b^2} \leq \alpha + \frac{ \alpha ^2}{5b^2}$

Soit encore $b^2 < \frac{\alpha ^2}{5(1-\alpha )}\,$ , ce qui donne un nombre fini de solutions pour b. Comme a doit vérifié l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

Pour la démonstration du premier point, considérons une suite de Farey d'ordre N, avec et 2 termes consécutifs tels que . On peut vérifier que :
- soit $b' > \frac{b \sqrt{5}+1}{2}$
- soit $b' < \frac{b \sqrt{5}-1}{2}$

Si $\omega = \frac{b'}{b}$ , on a $\omega > \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ou $\omega < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ . On peut montrer que $1+\omega ^{-2} > \sqrt{5} w^{-1}$ , d'où

$\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) > \frac{1}{\omega b^2}$ . Mais d'un autre côté, $\frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right)$ , ce qui termine l'ébauche de démonstration.