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Théorème d'interversion série-intégrale - Wikipédia

Théorème d'interversion série-intégrale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] Théorème spécial

Soit $(f_{n})_{n\in\mathbf{N}} : I \rightarrow\mathbf{C}$ une suite de fonctions intégrables sur un intervalle I. On suppose que la série $\sum_{n=1}^{\infty}\int_{I}\vert f_{n} \vert dx$ converge.

Alors la série $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ converge presque partout vers une fonction intégrable $f\,$ ,et

${\int_{I}fdx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}dx}$

[modifier] une version élémentaire

Soit $(f_{n})_{n\in\mathbf{N}} : I \rightarrow\mathbf{C}$ une suite de fonctions continues sur un intervalle I compact. On suppose qu'il existe des réels $\alpha_n\,$ tels que $\sup_{t\in I}\vert f(t)\vert \le \alpha_n$ , et que la série $\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n$ converge. Alors la somme de la série de fonctions $\sum_{n=1}^{\infty}f_n$ est une fonction continue $f\,$ , et

${\int_{I}fdx}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}dx}$

[modifier] Liens internes

Théorème de convergence dominée, dont le présent est un corollaire.

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../t/h/%C3%A9/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27interversion_s%C3%A9rie-int%C3%A9grale.html »

Catégories : Théorème de mathématiques • Théorie de la mesure • Série

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