Théorème de Bing

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Le théorème de Bing est une caractérisation des espaces métriques compacts.

[modifier] Énoncé

Soit (X,d) un espace métrique. Le théorème de Bing affirme l'équivalence des propositions suivantes :

(X,d) est compact ;
pour toute distance d' topologiquement équivalente à d, l'espace métrique (X,d' ) est complet.

[modifier] Démonstration

Le sens 1 ⇒ 2 est évident : si d' est topologiquement équivalente à d, (X,d' ) est encore compact, à plus forte raison il est complet.

La réciproque est le sens difficile de ce théorème. On va démontrer la contraposée, pour cela on suppose (X,d) non compact et on va construire un distance d' équivalente à d telle que (X, d' ) ne soit pas complet. La non compacité de (X, d) entraîne l'existence d'une suite de points deux à deux distincts $(x n)$ , sans aucune valeur d'adhérence. Par ailleurs, quitte à remplacer d par d/(1 + d) (qui est une distance uniformément équivalente), on suppose d ≤ 1. Le but est donc de chercher une distance d' "proche" de d, pour laquelle la suite $(x n)$ soit de Cauchy.

Étape 1 : Montrons que $d(x,y) = \sup_{f \in A} |f(x) - f(y)|$ , où $A = \{f : X \to \mathbb{R} : \forall (u,v) \in X^2, |f(u) - f(v)| \leq d(u,v) \}$ .

Si $f \in A$ , alors $|f(x) - f(y)| \leq d(x,y)$ , et en passant à la borne supérieure, on trouve $\sup_{f \in A} |f(x) - f(y)| \leq d(x,y)$ . La fonction $x \mapsto d(x,y)$ appartient bien à A (elle vérifie l'inégalité triangulaire renversée) et donne un cas d'égalité dans l'inégalité précédente.

Étape 2 : on cherche construire d' sous la forme $d'(x,y) = \sup_{f \in B} |f(x) - f(y)|$ , où B est un sous-ensemble de A.

Pour cela on pose $B_n = \{f : X \to \mathbb{R} : \forall (u,v) \in X^2, |f(u) - f(v)| \leq \frac{d(u,v)}{n} \mbox{ et } \forall j > n, f(x_j) = 0 \}$ et on pose $B = \bigcup_{n \geq 1} B_n$ .

Étape 2a : montrons que $(x n)$ est de Cauchy pour la distance d' .

Soit ε > 0, et N est un entier tel que Nε ≥ 1, p et q deux entiers supérieurs à N et f appartenant à B. Il existe alors n tel que $f \in B_n$ .

Si $n \geq N$ alors $|f(x_p) - f(x_q)| \leq \frac{d(x_p,x_q)}{n} \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \leq \varepsilon$

Si maintenant n < N, alors p et q sont supérieurs à n, et par conséquent $f (x p) = f (x q) = 0$ , et on voit facilement que dans ce cas $|f(x_p) - f(x_q)| \leq \varepsilon$ . En passant à la borne supérieure lorsque f parcourt B, on obtient finalement $d'(x_p,x_q) \leq \varepsilon$ .

Étape 2b : montrons que d' est encore équivalente à d.

Cela revient à montrer que l'identité de (X, d) vers (X, d' ) est bicontinue. On a déjà la continuité car $d' \leq d$ . Montrons la continuité de la réciproque : $id : (X,d') \to (X,d)$ . Soit a un point quelconque de X, et ε > 0. a n'est pas un point d'accumulation de la suite $(x n)$ , en particulier, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n > n_0, d(x_n, a) \geq \varepsilon$ .

Posons f la fonction définie par $\forall x \in X, f(x) = \max(0, \frac{\varepsilon - d(x,a)}{n_0})$ . f est $n 0$ -lipschitzienne, et pour tout $n > n 0, f (x n) = 0$ . Donc $f \in B_{n_0} \subset B$ .