Théorème de Bombieri-Vinogradov

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En mathématiques, le théorème de Bombieri–Vinogradov (quelquefois appelé simplement le théorème de Bombieri)^[1] est un résultat majeur de la théorie analytique des nombres, obtenu dans le milieu des années 60. Il fut nommé ainsi en l'honneur de Enrico Bombieri et A. I. Vinogradov^[2], qui publièrent sur une matière relative, l'hypothèse de densité, en 1965.

Ce résultat est une application majeure de la méthode du grand crible, qui se développa rapidement dans le début des années 60, à ses commencements dans le travail de Yuri Linnik deux décennies plus tôt. Outre Bombieri, Klaus Roth a travaillé dans ce domaine.

[modifier] Enoncé du théorème de Bombieri–Vinogradov

Soit A un nombre réel positif quelconque. Alors

$\sum_{q\leq Q}\max_{y\leq x}\max_{1\le a\le q\atop (a,q)=1}\left|\psi(x;q,a)-{x\over\varphi(q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^5\right)\,$

$x^{1/2}\log^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}\,$ .

Ici, $\varphi(q)\,$ est l'indicatrice d'Euler, qui est le nombre de termes pour le module q, et

$\psi(x;q,a)=\sum_{n\le x\atop n\equiv a\mod q}\Lambda(n)\,$

où $Λ$ désigne la fonction de von Mangoldt.

Une description verbale de ce résultat est qu'il adresse le terme erroné dans le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques, avec la moyenne sur le module q jusqu'à Q. Pour un certain intervalle de Q, qui est environ $\sqrt{x}\,$ si nous négligeons les facteurs logarithmiques, l'erreur moyenne est presque aussi petite que $\sqrt{x}\,$ . Ceci n'est pas vraiment évident, et sans faire la moyenne, c'est environ de la force de l'hypothèse de Riemann généralisée (HRG).

[modifier] Références

↑ E. Bombieri, "Le Grand Crible dans la Théorie Analytique des Nombres" (Seconde Édition). Astérisque 18, Paris 1987.
↑ A.I. Vinogradov. The density hypothesis for Dirichlet L-series. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 29 (1965), pages 903-934; Corrigendum. ibid. 30 (1966), pages 719-720. (Russian)