Théorème de Clairaut (géométrie)
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Le théorème de Clairaut en géométrie concerne des égalités d'aire entre parallélogrammes construits autour d'un triangle.
[modifier] Enoncé
- Si ABC est un triangle
- Si ABDE et ACFG sont des parallélogrammes extérieurs au triangle
- Si (DE) et (FG) se coupent en O
- Si, enfin, BCHI est un parallélogramme extérieur au triangle tel que [OA] et [CH] soient parallèles de même longueur
alors
- L'aire du parallélogramme BCHI est égale à la somme des aires des deux autres parallélogrammes
[modifier] Démonstration
Il suffit de déformer les parallélogrammes sans modifier leur aire.
Puisque OF'CA, CHIB, BD'OA sont des parallélogrames,"[OA] et [CH] soient parallèles de même longueur" implique que [BD'], [IB], [QP], [HC] et [CF'] y sont également parallèles de même longueur.
- aire(ABDE) =aire(ABD'O) (même base, même hauteur)
- aire(ACFG) = aire(ACF'O)
Si la droite OA rencontre (BC) et (HI) en P et Q alors
- aire(ABD'O) =aire(BIQP) (même base , même hauteur)
- aire(ACF'O) = aire(CHQP)
[modifier] Cas particulier
Si ABC est un triangle rectangle en A, si ABDE et ACFG sont des carrés, alors BCHI est aussi un carré et il s'agit du théorème de Pythagore
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