Théorème de Darboux (analyse)
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Au XIXe siècle, la plupart des mathématiciens pensaient que le théorème des valeurs intermédiaires caractérisait les fonctions continues. En 1875, Gaston Darboux mit un terme à cette conviction en montrant que les fonctions dérivées vérifiaient également ce théorème, et en donnant des exemples de fonctions dont la dérivée n'était pas continue - une telle fonction est 
.
[modifier] Énoncé
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I à valeurs réelles, de dérivée f', a et b deux éléments de I tels que a < b. Si y est un réel tel que f'(a) < y < f'(b), alors il existe un réel x entre a et b tel que f'(x)=y
Autre énoncé : Soit I un intervalle réel et soit f une application définie sur I à valeurs réelles. Si f est dérivable sur I alors f '(I) est un intervalle.
[modifier] Démonstration
Considérons la fonction g définie pour tout x de [a ;b] par g(x) = f(x) - xy.
La fonction g est dérivable sur l'intervalle [a ;b] et g'(x) = f'(x) - y.
En particulier, g'(a) = f'(a) - y et g'(b) = f'(b) - y. Ce qui assure que la dérivée en a est strictement négative et la dérivée en b strictement positive.
La fonction g étant dérivable, elle est continue et admet un minimum sur [a ;b]
La fonction g ne peut avoir un minimum en a, car sinon, on aurait, pour x > a :
et en prenant la limite de ce rapport quand x tend vers a, on aurait g'(a) ≥ 0, ce qui n'est pas.
De même, on montre que g ne peut avoir un minimum en b.
Il en résulte que ce minimum est atteint en un point x à l'intérieur de l'intervalle ]a ;b[, et en un tel point, la dérivée de g s'annule.
On a alors en ce point x , g'(x) = 0, c’est-à-dire f'(x) = y
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