Théorème de Helmholtz-Hodge

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Helmholtz a produit tellement de théorèmes, qu'on préfère lui associer Hodge, (dont le théorème est beaucoup plus puissant): il s'agit simplement en analyse vectorielle de bien comprendre que tout champ de vecteurs se décompose , pour le dire vite, en sa partie polaire et sa partie axiale :

Théorème : soit un champ de vecteurs $\vec{V}(M)$ "créé" par une source scalaire $ρ(M)$ ( sa divergence)et par une source de vortex $\vec{j}(M)$ (son rotationnel) , sources dont les supports sont compacts, ( soit (D) le domaine qui les borne) ; et une condition aux limites: le champ s'annule à l'infini comme O(1/r²). Alors :

$\vec{\nabla} \cdot \vec{V}(M) = \rho(M)$
$\vec{\nabla} \wedge\vec{V}(M)= \vec{j}(M)$
$\vec{V}(M)$ s'annule à l'infini

entraîne $\vec{V}(M) = \vec{E}(M) + \vec{B}(M)$

$\vec{E}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \int\int\int_{(D)} d\tau_P \cdot \rho(P)\cdot \frac{\vec{PM}}{PM^3}$

$\vec{B}(M) = \frac{1}{4\pi}\cdot \int\int\int_{(D)} d\tau_P \cdot \vec{j}(P) \wedge \frac{\vec{PM}}{PM^3}$

Les notations sont issues de l'électrostatique et de la magnétostatique. Évidemment le théorème s'applique en mécanique des fluides , en sismologie , etc.

[modifier] Démonstration de la décomposition

On donnera ici la démonstration plus précise pour un domaine compact (D), avec B(M) parallèle à la frontière de (D). Alors :

Théorème : V(M) se décompose de manière unique en E(M) + B(M):

Lemme d'orthogonalité sur (D) :

$\int\int\int_{(D)} d\tau_P \vec{B}(P) \cdot \vec{E}(P) = 0$

les deux composantes sont "orthogonales" sur (D). En effet :

Poser $\vec{E}(M) = - \vec{grad}\ \ p(P)$ , possible puisque son rotationnel est nul.

Alors puisque $div (p\vec{B}) = p \cdot div \vec{B} + \vec{grad} \ \ p \cdot \vec{B}$ ,

il s'ensuit par le théorème intégral d'Ostrogradski que :

$\int_D d\tau_P \cdot \vec{B}(P)\cdot \vec{grad}\ \ p(P)= \int_D d\tau_P \cdot div[ p(P)\cdot \vec{B}(P)] = \int_{\partial D} dS_Q \cdot p(Q)\vec{B}(Q)\cdot \vec{n}(Q) = 0$

Lemme d'unicité :

La décomposition en B(M) et E(M) est unique.

Comme souvent , par l'absurde : prendre la différence des 2 champs V1 et V2 et prendre sur (D) son produit scalaire avec B1-B2 : il va rester en vertu du lemme précédent uniquement la norme sur (D) de B1-B2, nulle : donc B1(M) = B2(M) et donc p1(M) = p2(M).

Lemme d'existence :

la divergence de V(M) est le laplacien de p(M); et sur la frontière V(Q).n(Q) donne une condition de Neumann sur p(Q) :le problème est donc un problème de Neumann , et donc p(M) existe et est unique, donc E(M) existe et est unique , donc sa différence avec V(M) soit -B(M) existe et est unique.

Fin de démonstration.

[modifier] Formule d'Helmholtz

Le problème de la frontière est reporté à une sphère de très grand rayon que l'on fait tendre vers l'infini. En tout point Q de cette frontière, B(Q) est quasiment nul , donc la condition précédente est valable. Quant à l'intégrale sur la frontière , avec B(Q) qui décroît comme 1/r³ , l'intégrale est majorée par K/r qui tend vers zéro. Le théorème précédent s'applique aussi au cas d'Helmholtz

le problème est linéaire: on ajoute donc la solution "électrostatique" et la solution "magnétostatique" . Fin de démonstration.