Théorème de Leibniz
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
Le théorème de Leibniz en géométrie se décrit comme suit :
Soit dans le plan deux points fixes A et B. Leibniz considère ainsi le lieu du point M tel que a ·(AM)2 + b·(BM)2 = cste. Soit G le barycentre de A(a) et B(b). Alors le lieu, s'il existe, est un cercle de centre G.
Sommaire |
[modifier] Démonstration
On développe (AG + GM)2 et de même pour BM = BG +GM .
L'égalité se réduit à (a+b)(GM)2= cste qui doit être positive.
Remarque : si a + b = 0 , G est en quelque sorte rejeté à l'infini (un physicien considèrera que a + b = epsilon) : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
Le théorème se généralise aisément à plusieurs points A, B, C.
[modifier] Rapport avec l'analysis situs
Leibniz dans sa caractéristique géométrique représente l'écriture du cercle de la manière suivante: ABC γ ABY qui peut se lire "ABC pareil que ABY". Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B? On peut traduire encore de cette manière: AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B - distances égales).
[modifier] Voir aussi
[modifier] Article connexe
[modifier] Liens externes
|
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
