Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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C'est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.
[modifier] Enoncé
Soit a un Entier algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Soit 
tel que ![P=k.P_a \in \mathbb{Z}[X]](../../../math/a/e/3/ae345701104637374e92b019e9c380b9.png)
. Posons C' = max[a − 1,a + 1] | P'(x) | , et C = min(1,1 / C'). Alors, pour tout rationnel, 
, on ait:
.
En 1844, Liouville en déduit les premiers exemples de nombres transcendants comme la somme des inverses des 10n!
[modifier] Démonstration du théorème
Pour tout rationnel, on a 
entier car ![P \in \mathbb{Z}[X]](../../../math/e/4/3/e43dbb492e2f8d2742492f74855d0738.png)
, et Y n'est pas nul, puisque 
. Donc :
.
Avec le théorème des accroissements finis: on a:
![\max_{[a-1,a+1]}{|P'(x)|\left|a-\frac{p}{q}\right|} \geq \frac{1}{q^d}](../../../math/4/7/5/4758ae0fa31508e26bd888a9add61586.png)
Si 
, on a immédiatement 
. Sinon, ![\max_{[a-1,a+1]}{|P'(x)|} \leq C'](../../../math/2/9/5/295ecfff0b1245c5910949bfa9317f61.png)
, et 
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