Théorème de Stark-Heegner

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Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément quel corps de nombres quadratique imaginaire admet une décomposition en facteurs premiers unique dans leur anneau d'entiers. Il résout un cas particulier du problème du nombre de classes de Gauss pour la détermination du nombre de corps quadratiques imaginaires qui possèdent un nombre de classe fixé donné.

Soit $\mathbb{Q}\,$ , l'ensemble des nombres rationnels, et d un entier sans carré (i.e., un produit de nombres premiers distincts) autres que 1. Alors le corps de nombres algébriques $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ est une extension finie de $\mathbb{Q}\,$ , appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ est le nombre de classes d'équivalence des idéaux de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ , où deux idéaux $\mathcal{I}\,$ et $\mathcal{J}\,$ sont équivalents si et seulement s’il existe des idéaux principaux (a) et (b) tels que $(a)\mathcal{I} = (b)\mathcal{J}\,$ . Ainsi, $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ est un anneau idéal principal, (et par conséquent, un anneau de factorisation unique) si et seulement si le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être établit comme ce qui suit :

Si d < 0, alors le nombre de classes de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ est égal à 1 si et seulement si d = - 1, - 2, - 3, - 7, - 11, - 19, - 43, - 67, ou - 163.

Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration d'Heegner ne fut acceptée jusqu'à ce qu'Harold Stark donne une démonstration en 1967, que Stark a montrée était en réalité équivalente à celle d'Heegner.

Si, d'un autre côté, d > 0, alors on ignore s'il existe une infinité de corps $\mathbb{Q}(\sqrt{d})\,$ avec un nombre de classes égal à 1. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps.