Théorème de Tellegen

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En électricité, le Théorème de Tellegen est une conséquence directe des lois de Kirchhoff qui traduit dans ce cas particulier la conservation de l'énergie dans un circuit électrique isolé. Ce théorème doit son nom à Bernard Tellegen, un chercheur néerlandais à qui on doit notamment l'invention de la pentode, et qui le formula pour la première fois dans une publication de 1952.

[modifier] Énoncé

Si un circuit électrique comprend N branches avec chacune d'elles soumises à une tension $u k$ et parcourues par un courant $i k$ respectant la même convention générateur ou récepteur pour l'ensemble du circuit alors:

$\sum_{k=1}^N u_k \cdot i_k =0$ .

[modifier] Remarques

La formulation du théorème montre qu'il n'est pas nécessaire de connaitre la relation de dépendance qui existe entre la tension et le courant de chaque branche pour que ce théorème puisse s'appliquer. Il suffit en fait que les lois de Kirchhoff relatives aux circuits et plus particulièrement la loi des mailles et la loi des noeuds s'appliquent pour que le résultat du théorème soit validé. Ainsi, le respect de ces lois, d'une part pour le courant avec la loi des noeuds et d'autre part pour les tensions avec la loi des mailles, montre qu'il peut être réalisé indépendement pour ces deux grandeurs. Plus précisément, si pour le même circuit il peut exister deux distributions de courants et tensions, (U,I) et (U',I'), qui respectent chacune les lois de Kirchhoff alors on a:

$\sum_{k=1}^N u_k \cdot i_k =0$ et $\sum_{k=1}^N u'_k \cdot i'_k =0$

mais également,

$\sum_{k=1}^N u'_k \cdot i_k =0$ et $\sum_{k=1}^N u_k \cdot i'_k =0$ .

D'un point de vue physique, indépendamment du contenu d'un circuit électrique, ce théorème indique qu'un circuit respectant les lois de Kirchhoff possède un bilan de puissance qui est globalement nul. Ceci n'est en fait que la traduction de l'assimilation du circuit électrique à un système thermodynamique isolé.

D'un point de vue mathématique, ce théorème traduit le fait que les sous-espaces vectoriels $V_i^{ }$ et $V_u^{ }$ constitués de tous les vecteurs qui satisfont les équations de Kirchhoff, pour respectivement les courants et les tensions, sont orthogonaux dans $\R_N$ .

[modifier] Preuve succincte

La validité de ce théorème est tout d'abord simple à établir, grâce à la loi des mailles, pour un circuit ne contenant qu'une maille. Lorsque le circuit est plus complexe, c'est à dire lorsqu'il contient plusieurs mailles, il suffit de considérer qu'il n'est que l'agrégation de plusieurs circuits à une seule maille pour étendre sa validité. La loi des noeuds sert alors dans cette dernière étape à décomposer par linéarité les courants du circuit global pour chacune des mailles prises individuellement.