Théorème de la base de Hilbert

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En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si est un anneau noethérien, alors est noethérien.

Démonstration

Soit un idéal de . Si est de type fini, alors est noethérien.

Soit une suite d'idéaux de définie par:

On a de suite :

On en déduit que est une suite croissante d'idéaux, et comme est noethérien, elle est stationnaire à partir d'un rang r.

est un idéal de type fini.

Comme est noethérien, chaque est de type fini. Notons un sytème de générateur de et faisons correspondre à chaque un polynôme ayant comme terme de plus haut degré et tel que .

Vérifions que est un système générateur de . Il faut vérifier que , puisse être généré par le système. Raisonnons par récurrence sur le degré de .

• 

• Supposons que le système soit générateur pour tout polynôme de degré inférieur à d.

Soit . Si est un polynôme de degré inférieur ou égal à d-1, d'où le résultat par récurrence. Si d est supérieur à r, alors (somme finie). D'où est de degré inférieur ou égal à d-1. Donc est de type fini. Donc est noethérien.

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Catégorie : Théorème de mathématiques

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