Théorème de la limite monotone
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[modifier] Énoncé pour les fonctions
Soient ![\ ]a,\, b[](../../../math/3/c/5/3c5d12f45192452a7a4eeb5853664a99.png)
un intervalle ouvert (borné ou non) et une fonction croissante ![\ f :\, ]a,\, b[\, \to \R](../../../math/6/0/8/608d976e3b1bdff3a594b5e4c400fbd5.png)
. Alors :
- la fonction admet en tout point
une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement 
et 
; elles vérifient la double inégalité 
- la fonction admet à la borne de droite de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si
est majorée, et dans le cas contraire est 
- la fonction admet à la borne de gauche de l'intervalle une limite, finie ou non ; cette limite est finie si et seulement si est minorée, et dans le cas contraire est
- (théorème analogue pour les fonctions décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant par
).
Démonstration
![f\left(\left]a,b\right[\right)](../../../math/1/6/5/165a79dfe9692254fb933065f7068a72.png)
est majoré alors d'après la propriété de la borne supérieure il admet une borne supérieure qu'on notera ![\forall\epsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*},\exists\mu\in\left]a,b\right[,l-f\left(\mu\right)\leq\epsilon](../../../math/9/8/a/98a7053d593534e84f005d1caa32e050.png)
or 
. Ce qui montre que [modifier] Énoncé pour les suites
Si 
est une suite croissante, alors:
- Si la suite est majorée alors elle est convergente.
- Si la suite n'est pas majorée alors elle admet pour limite.
- (théorème analogue pour les suites décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant
par 
).
Démonstration
