Trigonalisation

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En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est pas tout le temps possible, mais seulement sous certaines conditions.

Dans la suite, on se donne $n \geq 1$ un entier naturel et $\mathbb{K}$ un corps commutatif. $M_n( \mathbb{K})$ désignera l'ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ .

Sommaire

1 Matrices triangulaires
2 Endomorphismes et matrices trigonalisables
3 Conditions de trigonalisation
4 Exemples de trigonalisation
- 4.1 Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels
- 4.2 Exemple de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3
5 Voir aussi

[modifier] Matrices triangulaires

Voir l’article matrice triangulaire.

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale sont nuls. En général, on note $T_n^+(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. C'est un espace vectoriel, et même mieux, c'est une sous-algèbre de $M_n( \mathbb{K})$ . Une matrice triangulaire supérieure $T$ est donc de la forme :

$T= \begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{bmatrix}$

Remarque : De la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement au dessus de la diagonale sont nuls.

[modifier] Endomorphismes et matrices trigonalisables

Soit $M \in M_n( \mathbb{K})$ , une matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$ . On dit que la matrice $M$ est trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P \in GL_n( \mathbb{K})$ et une matrice $T \in T_n^+( \mathbb{K})$ triangulaire supérieure telles que :

M = P - 1 T P

Cela revient à dire que $M$ est semblable dans $M_n( \mathbb{K})$ à une matrice triangulaire supérieure.

En particulier, toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, bien évidemment. (Il suffit de choisir $P = I n$ où $I n$ est la matrice identité de dimension n.)

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $\mathbb{K}$ , de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ . On dit que $u$ est trigonalisable s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $M_{\mathcal{B}}(u) \in T_n^+( \mathbb{K})$ , où $M_{\mathcal{B}}(u)$ désigne la matrice de l'endomorphisme $u$ dans la base $\mathcal{B}$ . Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice associée est triangulaire supérieure.

De plus, un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans n'importe quelle base de $E$ est trigonalisable.

[modifier] Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

Toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).

Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans $\mathbb{K} [X]$ .

En particulier, si $\mathbb{K}$ est algébriquement clos, toute matrice de $M_n( \mathbb{K})$ est trigonalisable. Cet énoncé est aussi valable pour un endomorphisme de

E

, espace vectoriel de dimension

n

sur $\mathbb{K}$ .

Cas particulier où $\mathbb{K}= \mathbb{C}$ : toute matrice de $M_n( \mathbb{C})$ est trigonalisable, car $\mathbb{C}$ est algébriquement clos (voir théorème de d'Alembert-Gauss).