Valeur approchée

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Une valeur approchée d'un nombre est un nombre très proche de celui qu'il remplace et attribué pour simplifier un résultat.

Par exemple, on dit que 3,14 est une valeur approchée de Pi, ou que 300 000 km/s est une valeur approchée de la vitesse de la lumière dans le vide.

Sommaire

1 Définition d'une valeur approchée
- 1.1 Exemples
- 1.2 Remarque
2 Définition d'une valeur approchée par défaut
- 2.1 Remarque
3 Définition d'une valeur approchée par excès
4 Propagation des erreurs de calcul

[modifier] Définition d'une valeur approchée

En mathématiques, une valeur approchée d'un nombre réel $x$ à la précision $\varepsilon$ ou à $\varepsilon$ près ( $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ ) est un réel $a$ tel que $\vert x-a\vert\leq \varepsilon$ , c'est-à-dire tel que $a-\varepsilon\leq x \leq a+\varepsilon$ .

[modifier] Exemples

De l'encadrement $3,14-10^{-2}\leq \pi \leq 3,14+10^{-2}$ , il s'ensuit que $3,14$ est une valeur approchée de $π$ à $10 - 2$ près;
l'encadrement $3,1415-10^{-2}\leq \pi \leq 3,1415+10^{-2}$ montre que $3,1415$ est aussi une valeur approchée de $π$ à $10 - 2$ près.

[modifier] Remarque

Un moyen simple d'obtenir une valeur approchée à $10 - n$ ( $n\in\mathbb N^*$ ) près d'un nombre réel $x$ est la troncature de $x$ à $n$ décimales près. La troncature consiste à tronquer l'écriture décimale du nombre après la $n$ ème décimale, ce qui revient à remplacer par 0 les décimales de $x$ juste après la $n$ ème.

[modifier] Définition d'une valeur approchée par défaut

Une valeur approchée par défaut d'un nombre réel $x$ à la précision $\varepsilon$ ou à $\varepsilon$ près ( $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ ) est un réel $a$ tel que $a\leq x \leq a+\varepsilon$ .

[modifier] Remarque

Toute troncature d'un nombre $x$ à $n$ décimales près représente une valeur approchée par défaut de ce nombre à $10 - n$ près.

[modifier] Définition d'une valeur approchée par excès

Une valeur approchée par excès d'un nombre réel $x$ à la précision $\varepsilon$ ou à $\varepsilon$ près ( $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ ) est un réel $a$ tel que $a-\varepsilon\leq x \leq a$ .

[modifier] Propagation des erreurs de calcul

On pourra citer une valeur approchée comme solution mais jamais la reprendre pour continuer d'autres calculs à la suite (les machines intègrent souvent une touche pour éviter de faire cette erreur), sauf cas contraires où elle peut être prise par convention.

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Catégorie : Nombre