Penrose-féle csempézés

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Penrose-féle csempézés az aperiodikus csempehalmazok (illetve az azokkal való csempézések) egy olyan csoportja, amit Roger Penrose (és tőle függetlenül Robert Ammann) fedezett fel.

Penrose először 1973-ban talált egy 6 csempéből álló aperiodikus csempehalmazt. Ez akkoriban nagy előlrelépés volt, hiszen az első csempehalmazt, ami bizonyítottan aperiodikus volt, Berger 1966-ban találta, és 20426 csempéből állt. Ezek a csempék négyzetek voltak, melyeknek az oldalait úgy változtatták meg, hogy a periodicitást elkerüljék. Később sikerült lecsökkentenie a csempék számát 104-re, majd 92-re. Raphael M. Robinson 1971-ben egy 6 csempéből álló halmazt talált. Ez is hat módosított négyzetet tartalmazott. Penrose 6 csempéje szabályos hatszögekből állt, és csillag-szerű alakzatokból, ezzel megtörte a négyzetek egyeduralmát és azt a sejtést is megdöntötte, miszerint csak módosított négyzetekkel lehet nemperiodikusan lefedni a síkot.

Penrose ezután még sokat foglalkozott a csempékkel, és még két, egyenkét két-két csempéből álló aperiodikus halmazt talált.

Az egyik ilyen csempehalmaz két rombuszt tartalmaz:

• A kövér rombusznak {72, 72, 108, 108} fokosak a szögeik
• A sovány rombusznaknak {36, 36, 144, 144} fokosak a szögeik.

A csempéket egy egyszerű szabály szerint illesztjük egymáshoz: a két rombusz nem alkothat soha paralelogrammát. Könnyítésként megjelölhetjük az oldalakat, hogy tudjuk, hogy melyik oldalhoz melyiket illeszthetjük. Használhatunk erre a célra színeket, vagy megfelelő módon megváltoztathatjuk a rombuszok oldalait, hogy azokat csak úgy lehessen összeérinteni, hogy a kapott csempézés ne legyen periodikus.

A másik ismert, két csempéből álló halmaz két deltoidot tartalmaz:

• Egy konvexet, amit sárkánynak és
• egy konkávat, amit dárdának hívunk.

A deltoidok rövidebb oldala 1, a hosszabb pedig , amit szokás aranyszámnak is hívni, hiszen az aranymetszésnél a megfelelő két hossz aránya is ez a szám. Az aranyszám sok helyen előbukkan a csempézés tulajdonságai között:

• A sárkányok τ-szor annyian vannak, mint a dárdák.
• A területek aránya is τ-szoros.
• A csempézés nem-periodikusságának egyik bizonyításában is döntő szerepe van, hiszen a τ egy irracionális szám.

[szerkesztés] Kvázikristályok

Bár először csak mint érdekes matematikai játék és struktúra jelent meg a Penrose-féle nemperiodikus csempézés, 1984-ben felfedeztek egy ötvözetet, az Al₆Mn-t, aminek a szerkezete a Penrose-féle csempézés térbeli változata. Így a csempézés tulajdonságainak vizsgálata elősegítette az ötvözet tulajdonságainak megértését. Egyébként ez az ötvözet külsőleg mint kristály viselkedett, de megdöntötte a szilárdtestfizika alapfeltevését, miszerint egy kristály szerkezete csak 2-es, 3-as, 4-es vagy 6-os forgásszimmetriát mutathat. Ezért kvázikristálynak nevezik.

[szerkesztés] Források

• Penrose, Roger. (1989) The Emperor's New Mind. (ISBN 0 198 51973 7)
  • magyarul: Roger Penrose: A császár új elméje, Akadémiai Kiadó, 1993
• Csonka Dorottya (2004. november (XII.évf./5.szám)) A nem periodikus Penrose-csempézés. Matematika Tanítása (MS-9101)

[szerkesztés] Külső hivatkozások

• Egy jó összefoglaló cikk a témában, a csempézés további tulajdonságaival
• Kvázikristályokról
• Egy ingyenes program csempézéshez
• Penrose csirkék, avagy hogyan módosítsuk az oldalakat