Szupertér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér $(x,\theta,\bar{\theta})$ , ahol x a Minkowski-tér, $\theta \,$ és $\bar{\theta}$ Grassmann-spinorok.

[szerkesztés] Grassmann-spinorok

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport - ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal - spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a $\theta_a \,$ "balkezes" és a $\bar{\theta}_\dot{a}$ "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

$\theta^2 \equiv \theta^a\theta_a , \quad \bar{\theta}^2 \equiv \bar{\theta}_\dot{a}\bar{\theta}^\dot{a}$

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lennt, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

$\theta^a\theta_a = -\theta_a\theta^a \,$

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

$\theta_a = \epsilon_{ab}\theta^b , \quad \bar{\theta}_\dot{a} = \epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\bar{\theta}^\dot{b}$

A négyesspinorok általános tuljadonságainak megfelelően a $\theta_a \bar{\theta}_\dot{a}$ szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

[szerkesztés] Szupereltolás

Az $(x,\theta,\bar{\theta})$ szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

$\theta \rightarrow \theta + \epsilon, \quad \bar{\theta} \rightarrow \bar{\theta} + \bar{\epsilon}$

$x_{\alpha\dot{\beta}} \rightarrow x_{\alpha\dot{\beta}} +2i\epsilon_\alpha\bar{\theta}_{\dot{\beta}} -2i\theta_\alpha\bar{\epsilon}_{\dot{\beta}}$

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

[szerkesztés] Királis és antikirális szupertér

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza $\bar{\theta}$ -t - $(x_L,\theta) \,$ királis szupertér - vagy $\theta \,$ -t - $(x_R,\bar{\theta})$ antikirális szupertér, ahol: