Area, definizione costruttiva
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In questo articolo vengono definite le aree di insiemi superficiali via via più complessi.
Una prima nozione di area riguarda figure del piano combinatorio, l'insieme 
che intuitivamente si può presentare come l'insieme dei punti del piano cartesiano aventi coordinate intere. In questo ambiente si definisce innanzi tutto l'area di una figura data da un insieme di quadrati elementari come numero dei quadrati appartenenti a tale insieme.
Per una figura delimitata da poligonale con gli estremi in punti a coordinate intere, che si può chiamare figura--ZZ, conviene iniziare con il caso di una poligonale non intrecciata. Per tale area si richiede l'additività e si considera la figura a un'unione di triangoli aventi in comune solo segmenti; i triangoli generici si riducono a triangoli con un lato orizzontale e un lato verticale, si chiamano tali lati rispettivamente base e altezza e si chiede che l'area sia data dalla metà del prodotto della base per l'altezza (numero semiintero, cioè intero o semidispari.
Per le figure delimitate da poligonali chiuse intrecciate bisogna precisare verso di percorrenza e definire l'area con segno di una figura delimitata da poligonale orientata non intrecciata; il segno è positivo se la poligonale viene percorsa lasciando la figura a sinistra, negativo se a destra.
Queste prime nozioni di area basate solo sui numeri interi e quindi con caratteristiche elementari, servono per affrontare problemi di enumerazione.
Si estende la nozione di area alle figure piane delimitate da poligonali con vertici con coordinate razionali, quelle che si possono chiamare figure--QQ. Queste aree sono riconducibili alle aree delle figure--ZZ attraverso un cambiamento di unità di misura che riduce le coordinate a interi (modifica delle aree per omotetia).
Il passo successivo riguarda la definizione delle aree delle figure delimitate da poligonali con estremità nel piano 
, figure che si possono chiamare regioni poligonali. Queste si ottengono come limite di aree di figure-QQ.
Si considerano poi regioni delimitate da curve del piano : per queste occorre servirsi della nozione di integrale definito, a sua volta basato sulle aree di regioni poligonali e sulla nozione di passaggio al limite delle corrispondenti misure.
Si definiscono poi aree per figure piane illimitate mediante integrali generalizzati.
Si passa poi agli spazi tridimensionali e si definiscono le aree di superfici definite analiticamente mediante integrali su due variabili.
