Deflusso veicolare

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L'analisi del deflusso veicolare dei mezzi in situazioni reali di traffico è oggetto di studio dell' Ingegneria dei trasporti. Tramite modelli matematici basati prevalentemente su rilevazioni empiriche si tenta di fornire una "matematizzazione" del problema per comprendere l'evoluzione dinamica del moto dei veicoli in una data infrastruttura.

Indice

1 Equazione di stato del deflusso veicolare
2 Modelli di deflusso
- 2.1 Analisi macroscopica dell'infrastruttura
- 2.2 Analisi dettagliata: modello del veicolo accodato
  - 2.2.1 Ritorno al modello macroscopico
3 Stabilità del traffico
- 3.1 Stabilità locale
- 3.2 Stabilità asintotica
4 Abbandono stazionarietà: onda d'urto
5 Voci correlate

[modifica] Equazione di stato del deflusso veicolare

Per effettuare la simulazione del comportamento dei veicoli vengono introdotte delle grandezze che descrivono lo stato del sistema.

Si consideri quindi un'insieme di veicoli che attraversano una sezione L (ad ex. di 1 km) in un periodo T (ad ex. di 1 ora). Si definisce il flusso come il rapporto tra il numero di veicoli presenti sull'infrastruttura (n) per unità di tempo:

$q = \frac{n}{T}$

Se si considerano confrontabili i distanziamenti tra i singoli veicoli (h_i) e sia n molto elevato si può affermare che la somma dei singoli distanziamenti coincide con il periodo T : $\sum_{i=1}^n h_i \approx T$ . Dividendo quindi ambo i membri per n si ottiene un'importante relazione:

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n h_i = \frac{T}{n} \longrightarrow q^{-1} = \frac{T}{n} = \bar{h}$

ovvero che l'inverso del flusso è all'incirca uguale al distanziamento medio in tempo tra i veicoli nell'infrastruttura.

In maniera analoga si introduce la densità, ovvero il numero di veicoli per una data sezione dell'infrastruttura:

$k = \frac{n}{L}$

e - analogamente - per numerose misurazioni e per distanze omogenee (d_i) si può approssimare $\sum_{i=1}^n d_i \approx L$ e di conseguenza, dividendo ambo i membri sempre per n, si ottiene un'altra importante relazione:

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d_i = \frac{L}{n} \longrightarrow K^{-1} = \frac{L}{n} = \bar{d}$

ovvero che l'inverso della densità è all'incirca uguale al distanziamento spaziale medio tra i veicoli nell'infrastruttura.

Ogni singola famiglia di veicoli è caratterizzata dal proprio flusso e dalla propria densità. Essendo quindi la velocità il rapporto tra il distanziamento spaziale e quello temporale, si ha che $v_i = \frac{D_i}{H_i} = \frac{ \frac{1}{k_i} }{ \frac{1}{q_i} } = \frac{q_i}{k_i}$ . Quindi, sommando tutti i flussi e tutte le densità ( $q_t = \sum_{i=1}^n q_i$ e $k_t = \sum_{i=1}^n k_i$ ) si ha $\sum_{i=1}^n q_i = \sum_{i=1}^n k_i v_i$ ovvero che $q_t = k_t \sum_{i=1}^n \frac{k_i}{k_t} v_i$ .

Il flusso, quindi, è uguale al prodotto tra la densità e la velocità media rispetto allo spazio:

$q = k \bar{v_s}$

[modifica] Modelli di deflusso

[modifica] Analisi macroscopica dell'infrastruttura

L'analisi macroscopica dell'evoluzione dinamica di un'infrastruttura avviene studiando il variare delle grandezze medie fondamentali, ovvero il flusso, la densità e la velocità. Vengono pertanto utilizzati dei modelli matematici, basati su rilevazioni empiriche, che legano tra loro queste grandezze.

[modifica] Velocità / Densità

Modello lineare o di Greenshield :

$v = v_f (1 - \frac{k}{k_j} )$ dove v_f è la velocità a flusso nullo (quella di un veicolo isolato) e k_j è il valore massimo della densità.

Il modello lineare è matematicamente più semplice da gestire ma fornisce dei valori non corrispondenti al vero nelle situazioni non "lineari", ovvero per valori elevati o minimi della densità.

Modello logaritmico o di Greenberg

$v = v_m * ln ( \frac{k_j}{k} )$ dove v_m è la velocità per la quale il flusso è massimo.

Il modello logaritmico è più accurato ed efficace, soprattutto per valori della densità prossimi alla congestione, mentre non lo è per valori bassi (dove tuttavia non esistono problemi). Per evitare di avere velocità infinite per k che tende a 0 Underwood ha rielaborato la formula nel seguente modo:

$v = v_f \ e^{( \frac{k}{k_m})}$

[modifica] Flusso / Densità : Diagramma fondamentale del traffico

La relazione che lega il flusso con la densità è il diagramma fondamentale del traffico, molto utile per comprendere e prevedere l'evoluzione del traffico in base a particolari fenomeni (vedi in seguito l' onda d'urto).

Modello parabolico Dal modello lineare e dall'equazione di stato si ricava la seguente formula:

$q = k \ v = v_f \ (k - \frac{k^2}{k_j})$

ovvero una parabola che passa per l'origine, con un massimo in $\frac{k_j}{2}$ corrispondente al flusso alla capacità massima, e con seconda intersezione con l'asse k in k_j. L'inclinazione dei vettori che congiungono l'origine con un punto qualsiasi sulla parabola corrisponde alla velocità media nel punto che, nel caso particolare di k=0, corrisponde alla velocità libera v_f.

Modello logaritmico Dal modello di Greenberg e dall'equazione di stato si ricava:

$q = k \ v = k v_m \ ln ( \frac{k_j}{k} )$

Annullando la derivata si ha che il flusso massimo si ha quando $k = \frac{k_j}{k}$ e corrisponde a $q = v_m \ \frac{k_j}{e}$

[modifica] Velocità / Flusso

Questo modello è molto utile per la trattazione di flussi ininterrotti.

Poiché $v - vf = - v_f \ \frac{k}{k_j}$ si ha che $k = k_j \ ( 1 - \frac{v}{v_f} )$ . Sostituendo si ottiene quindi $q = k \ v = k_j (v - \frac{v^2}{v_f})$ .

[modifica] Analisi dettagliata: modello del veicolo accodato

La precedente analisi considerava le grandezze macroscopiche. Il modello del veicolo accodato studia invece il tipo di risposta di un individuo soggetto a variazioni dell'ambiente esterno sulla base del principio di stimolo-reazione.

Si avrà quindi che un veicolo n+1 accodato ad un'altro n accelererà o frenerà dopo un certo tempo psicotecnico T se il veicolo n seguente ha variato il suo stato di moto. Il principio è quindi quello della

reazione(t + T) = sensibilità * stimolo(t)

Quindi la variazione della velocità locale del veicolo è direttamente proporzionale alla differenza della velocità con quello che segue e ad un coefficiente di sensibilità α:

$a_{n+1} (t + T) = \alpha \ [V_n (t) - V_{n+1} (t)]$

Poiché il tipo di risposta varia in base alla distanza spaziale con il veicolo che segue questa relazione è stata generalizzata nella forma seguente:

$a_{n+1} (t + T) = \frac{\alpha}{[X_n(t) - X_{n+1}(t)]} \ [V_n (t) - V_{n+1} (t)]$

dove $\alpha = \alpha_0 \ V_n(t)$ .

[modifica] Ritorno al modello macroscopico

Integrando quest'equazione differenziale (risolvibile solo se α è costante) si torna alla condizione stazionaria del modello macroscopico, descritta dal modello logaritmico (si ricordi che il distanziamento medio x è uguale al reciproco della densità k):

$V_{n+1} (t + T) = \alpha \ log( \frac{1}{k} )$

[modifica] Stabilità del traffico

Grazie al modello del veicolo accodato è possibile definire matematicamente le condizioni di stabilità del traffico in seguito a stimoli esterni. Si terrà in considerazione il prodotto $C = \alpha \ T$ .

[modifica] Stabilità locale

La stabilità locale studia l'evoluzione di due veicoli accodati che interagiscono. Per valori di C compresi tra determinati estremi si ha una determinata variazione del reciproco distanziamento in un certo periodo di tempo.

Se $0 \ < \ C \ < \ \frac{1}{e}$ si ha un distanziamento non sinusoidale, nel quale la variazione di moto viene subito smaltita
Se $\frac{1}{e} \ \le \ C \ < \ \frac{\pi}{2}$ si ha un distanziamento sinusoidale smorzato
Se $C = \frac{\pi}{2}$ si ha un distanziamento sinusoidale che non viene smaltito
Se $C > \ \frac{\pi}{2}$ si ha un distanziamento sinusoidale amplificato

[modifica] Stabilità asintotica

La stabilità asintotica considera invece la risposta di tutta l'infrastruttura alle variazioni provocate dal comportamento di un certo veicolo, e si ha che la corrente veicolare si stabilizza se $C < 0.5\,\!$ .

[modifica] Abbandono stazionarietà: onda d'urto

L'abbandono delle condizioni di stazionarietà è dovuto a bruschi eventi esterni come l'alt del semaforo , i lavori in corso sull'infrastruttura, oppure gli incidenti.

In quest'ultimo caso la capacità della strada può ridursi dell'ordine anche del 50% e si verifica un fenomeno di "collo di bottiglia". La velocità dei veicoli si riduce drasticamente, così come il flusso.In prossimità dell'incidente la densità sale ad un valore K_b dovuto alla crescita della coda (che - nelle ore di punta - può essere lunga diversi km) mentre appena dopo l'ostruzione si ha una densità K_m normalizzata inferiore a quella in condizioni stazionarie.

Si generano quindi delle onde cinematiche che descrivono questa brusca variazione di stato. Dal luogo dell'incidente partirà verso monte una cosiddetta "onda d'urto" W (dell'ordine di 15-30 km/h) che investe la corrente veicolare a densità normale K generando una coda. Contemporaneamente partirà verso valle un'altra onda che riflette l'effetto dell'ostruzione diminuendo, appunto, la densità dei veicoli.

Poiché il numero di veicoli che in un intervallo di tempo t si trovano investiti dall'onda è costante, si ha che $k_a (V_a - W) t = k_b (V_b - W) t\,\!$ quindi la velocità dell'onda d'urto è data da $W = \frac{Q_a - Q_c}{K_a - K_b}$ , ovvero la pendenza della corda che congiunge il punto sulla parabola flusso/densità appena prima dell'incidente (A) con quello sul ramo "congestionato" corrispondente all'incidente (B).

Una volta rimosso l'incidente partirà un'altra onda con velocità maggiore della precedente che raggiungerà il punto di capacità massima (C). Quando questa onda raggiungerà l'onda d'urto la coda sarà dissipata e l'ultima onda da C ad A riporterà il sistema alle condizioni iniziali di deflusso.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Sicurezza veicoli