Disuguaglianza di riarrangiamento
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo (risp. minimo) quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo (risp. in modo opposto).
Se le componenti dei vettori a e b sono
allora
è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e
è il valore minimo che lo stesso può assumere.
[modifica] Dimostrazione
Supponiamo di avere
la differenza è
- S − S' = ak(bk − br) + ar(br − bk) = (ak − ar)(bk − br) > 0
per cui S è maggiore di qualsiasi altro riarrangiamento del prodotto fra vettori. In modo analogo si procede per il caso minimo.
[modifica] Uso
Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma.
