Doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti
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La definizione di serie decimale suggerisce di porre la definizione che due numeri reali sono uguali se e solo se le serie che li definiscono hanno la stessa parte intera e le stesse cifre. Vedremo che questo è falso, ed il punto di partenza per dimostrarlo e il confronto tra le serie 0,99999999 …… e 1.0000000 ……
Ovvero 
e 
Che se partissimo dal precedente assunto saremmo costretti a considerare come diverse.
Ma se assumiamo per vero il principio di uguaglianza attraverso il confronto delle singole cifre, andiamo contro, con l'esempio di prima, al Postulato di Eudosso e Archimede che possiamo semplicisticamente enunciare come : Per ogni coppia di segmenti, esiste un multiplo del primo che supera il secondo.
Infatti se chiamiamo F la differenza tra i due numeri di prima, strettamente positiva, potremo dire che F < 10 − n , dove n è l'indice della cifra (n-esima appunto) che consideriamo, e quindi può essere arbitrariamente grande. Dalla scrittura precedente possiamo ricavare che F10n < 1 , ma questo è incompatibile con il paradosso di Archimede.
Si è dunque costretti a scrivere:
, e quindi dire che F=0.
Quindi è corretto affermare che i numeri reali sono individuati dalle serie decimali, ma questo facendo la supposizione che ogni serie periodica di periodo 9 sia identificata con la serie 0-periodica corrispondente, sempre nell'ipotesi che si voglia ottenere un campo archimedeo.
Scriviamo le seguenti uguaglianze come esempio:
